2.2 Changements de variables
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X(S 0 ,t)=S t
σ(x, t)n(x, t) ds =
S 0
σ(X(t, ξ),t) Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)ds 0 ,
(2.12)
où n(x, t) désigne la normale en x ∈ S t et n 0 (ξ) désigne la normale en ξ ∈ S 0 .
Pour des courbes, la formule générale de changement de variable est donnée
par la proposition suivante :
Proposition 2.7. Soit une fonction f : R 3 → R régulière sur une courbe
régulière Γ t de R 3 image par une application régulière X d’une courbe
régulière Γ 0 de R 3 . Alors on a la formule de changement de variables
X(Γ 0 ,t)=Γ t
f (x, t) dl =
Γ 0
f (X(t, ξ),t)|∇ ξ X(t, ξ)τ 0 (ξ)| dl 0 , (2.13)
où τ 0 est un champ de vecteurs unitaires tangents à Γ 0 .
Preuve. Cette formule se justifie en se ramenant par une paramétrisation à
un ouvert de R. On considère e 1 le vecteur tangent dans la configuration
initiale. Ce vecteur se calcule en prenant la dérivée de la paramétrisation. Un
vecteur tangent unitaire s’écrit τ 0 (ξ) = e 1 /|e 1 | et l’élément de longueur dans
la configuration initiale est dl 0 = |e 1 |. Le vecteur e 1 est transformé dans la
configuration déformée en a 1 = [∇ ξ X]e 1 . On obtient la relation suivante
τ (X(t, ξ),t) =
a 1
|a 1 |
=
[∇ ξ X]τ 0 (ξ)
|[∇ ξ X]τ 0 (ξ)|
(2.14)
et l’élément de longueur dl dans la configuration déformée s’écrit
dl = |a 1 | = |[∇ ξ X]e 1 | = |[∇ ξ X]τ 0 | dl 0
Remarque 2.8. Dans le cas bidimensionnel nous avons correspondance entre
(2.13) et (2.10) car
| Cof([∇ ξ X])n 0 | = |[∇ ξ X]τ 0 |.
En effet, en élevant au carré cette identité on obtient, avec la notation
C = [∇ ξ X] T [∇ ξ X]
det(C)(C
−1 n 0 ) · n 0 = (Cτ 0 ) · τ 0 .
On conclut en utilisant la relation τ 0 ⊗ τ 0 = I − n 0 ⊗ n 0 et l’identité de Cayley
Hamilton pour les matrices de taille deux A − Tr(A)I + det(A)A −1 = 0.