42
2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
X(ξ + h) = X(ξ) + [∇ ξ X]h + o(h)
(2.9)
L’élément de volume dx dans la configuration déformée s’écrit
dx = det(a 1 ,a 2 ,a 3 ) = det([∇ ξ X]e 1 , [∇ ξ X]e 2 , [∇ ξ X]e 3 )
= det([∇ ξ X])det(e 1 ,e 2 ,e 3 ) = det([∇ ξ X]) dξ.
Pour des surfaces, la formule générale de changement de variables est
donnée par la proposition suivante :
Proposition 2.6. Soit une fonction f : R 3 → R régulière sur une surface
régulière S t de R 3 image par une application régulière X d’une surface
régulière S 0 de R 3 . Alors on a la formule de changement de variables
X(S 0 ,t)=S t
f (x, t) ds =
S 0
f (X(t, ξ),t)| Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)| ds 0
(2.10)
où n 0 est un champ de vecteurs unitaires normal à S 0 .
Preuve. Cette formule se justifie en se ramenant à un ouvert de R 2 à l’aide
d’une paramétrisation. On considère les vecteurs e 1 et e 2 associés à la paramétrisation dans la configuration initiale. Ces vecteurs forment une base du plan
tangent et se calculent en prenant les dérivées de la paramétrisation. On a alors
n 0 (ξ) = e 1 × e 2 /|e 1 × e 2 | et l’élément de surface dans la configuration initiale
s’écrit ds 0 = |e 1 × e 2 |. Ces vecteurs sont transformés dans la configuration
déformée en les vecteurs a i = [∇ ξ X]e i , et pour tout vecteur v
([∇ ξ X]e 1 × [∇ ξ X]e 2 ) · [∇ ξ X]v = det([∇ ξ X]e 1 , [∇ ξ X]e 2 , [∇ ξ X]v)
= det([∇ ξ X])(e 1 × e 2 ) · v.
On en déduit
a 1 × a 2 = [∇ ξ X]e 1 × [∇ ξ X]e 2 = Cof([∇ ξ X])(e 1 × e 2 ).
On a donc
n(X(t, ξ),t) =
a 1 × a 2
|a 1 × a 2 |
=
Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)
| Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)|
(2.11)
et l’élément de surface ds dans la configuration déformée s’écrit
ds = |a 1 × a 2 | = |Cof([∇ ξ X])n 0 ||e 1 × e 2 | = |Cof([∇ ξ X])n 0 | ds 0 .
On peut en déduire facilement, pour un champ de matrices σ,
2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
X(ξ + h) = X(ξ) + [∇ ξ X]h + o(h)
(2.9)
L’élément de volume dx dans la configuration déformée s’écrit
dx = det(a 1 ,a 2 ,a 3 ) = det([∇ ξ X]e 1 , [∇ ξ X]e 2 , [∇ ξ X]e 3 )
= det([∇ ξ X])det(e 1 ,e 2 ,e 3 ) = det([∇ ξ X]) dξ.
Pour des surfaces, la formule générale de changement de variables est
donnée par la proposition suivante :
Proposition 2.6. Soit une fonction f : R 3 → R régulière sur une surface
régulière S t de R 3 image par une application régulière X d’une surface
régulière S 0 de R 3 . Alors on a la formule de changement de variables
X(S 0 ,t)=S t
f (x, t) ds =
S 0
f (X(t, ξ),t)| Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)| ds 0
(2.10)
où n 0 est un champ de vecteurs unitaires normal à S 0 .
Preuve. Cette formule se justifie en se ramenant à un ouvert de R 2 à l’aide
d’une paramétrisation. On considère les vecteurs e 1 et e 2 associés à la paramétrisation dans la configuration initiale. Ces vecteurs forment une base du plan
tangent et se calculent en prenant les dérivées de la paramétrisation. On a alors
n 0 (ξ) = e 1 × e 2 /|e 1 × e 2 | et l’élément de surface dans la configuration initiale
s’écrit ds 0 = |e 1 × e 2 |. Ces vecteurs sont transformés dans la configuration
déformée en les vecteurs a i = [∇ ξ X]e i , et pour tout vecteur v
([∇ ξ X]e 1 × [∇ ξ X]e 2 ) · [∇ ξ X]v = det([∇ ξ X]e 1 , [∇ ξ X]e 2 , [∇ ξ X]v)
= det([∇ ξ X])(e 1 × e 2 ) · v.
On en déduit
a 1 × a 2 = [∇ ξ X]e 1 × [∇ ξ X]e 2 = Cof([∇ ξ X])(e 1 × e 2 ).
On a donc
n(X(t, ξ),t) =
a 1 × a 2
|a 1 × a 2 |
=
Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)
| Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ)|
(2.11)
et l’élément de surface ds dans la configuration déformée s’écrit
ds = |a 1 × a 2 | = |Cof([∇ ξ X])n 0 ||e 1 × e 2 | = |Cof([∇ ξ X])n 0 | ds 0 .
On peut en déduire facilement, pour un champ de matrices σ,