2.2 Changements de variables
41
∂ t Y + (u · ∇)Y = 0,
Y(x, 0) = x.
(2.4)
En dérivant (2.2) par rapport à x ou ξ on obtient
[∇ ξ X(t, ξ)] = [∇ x Y (x, t)]
−1 .
(2.5)
Cette relation est le point clé de la formulation eulérienne de l’élasticité car
le gradient de déformation lagrangien est calculé à l’aide des caractéristiques
rétrogrades, qui elles-mêmes sont des fonction Level Set pour le flot sous-jacent.
Les déterminants de ces matrices jacobiennes vérifient des équations duales.
D’après la proposition 2.2 le déterminant J(t, ξ) = det(∇ ξ X(t, ξ)) vérifie une
équation de flot,
∂ t J(t, ξ) = J(t, ξ)(div u)(X(t, ξ),t)
(2.6)
alors que son analogue eulérien (noter l’ordre des variables) J(x, t) =
det(∇ x Y (x, t)) tel que J(t, ξ) = J(x, t) −1 pour x = X(t, ξ) vérifie une équation
de conservation,
∂ t J(x, t) + div(J(x, t)u(x, t)) = 0.
(2.7)
2.2 Changements de variables
Sous l’hypothèse (H), d’après la proposition 2.2, les applications X(t, ·) ne
changent pas l’orientation c’est à dire
J(t, ξ) = det(∇ ξ X(t, ξ)) > 0.
Cette relation permettra d’enlever les valeurs absolues des jacobiens dans les
changements de variables d’intégrales de volume.
Proposition 2.5. Soit une fonction f : R 3 → R régulière sur un volume
ω t de R 3 image par une application régulière X d’un volume ω 0 de R 3 .
Alors on a la formule de changement de variables
ω t =X(t,ω 0 )
f (x, t)dx =
ω 0
f (X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ)) dξ.
(2.8)
Preuve. Considérons une base (e 1 ,e 2 ,e 3 ) de R 3 . L’élément de volume dξ du
parallélépipède associé est donnée par le produit mixte ou le déterminant
des trois vecteurs dans la configuration initiale d’où dξ = (e 1 × e 2 ) · e 3 =
det(e 1 ,e 2 ,e 3 ). Ces vecteurs sont transformés dans la configuration déformée
en a i = [∇ ξ X]e i car
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∂ t Y + (u · ∇)Y = 0,
Y(x, 0) = x.
(2.4)
En dérivant (2.2) par rapport à x ou ξ on obtient
[∇ ξ X(t, ξ)] = [∇ x Y (x, t)]
−1 .
(2.5)
Cette relation est le point clé de la formulation eulérienne de l’élasticité car
le gradient de déformation lagrangien est calculé à l’aide des caractéristiques
rétrogrades, qui elles-mêmes sont des fonction Level Set pour le flot sous-jacent.
Les déterminants de ces matrices jacobiennes vérifient des équations duales.
D’après la proposition 2.2 le déterminant J(t, ξ) = det(∇ ξ X(t, ξ)) vérifie une
équation de flot,
∂ t J(t, ξ) = J(t, ξ)(div u)(X(t, ξ),t)
(2.6)
alors que son analogue eulérien (noter l’ordre des variables) J(x, t) =
det(∇ x Y (x, t)) tel que J(t, ξ) = J(x, t) −1 pour x = X(t, ξ) vérifie une équation
de conservation,
∂ t J(x, t) + div(J(x, t)u(x, t)) = 0.
(2.7)
2.2 Changements de variables
Sous l’hypothèse (H), d’après la proposition 2.2, les applications X(t, ·) ne
changent pas l’orientation c’est à dire
J(t, ξ) = det(∇ ξ X(t, ξ)) > 0.
Cette relation permettra d’enlever les valeurs absolues des jacobiens dans les
changements de variables d’intégrales de volume.
Proposition 2.5. Soit une fonction f : R 3 → R régulière sur un volume
ω t de R 3 image par une application régulière X d’un volume ω 0 de R 3 .
Alors on a la formule de changement de variables
ω t =X(t,ω 0 )
f (x, t)dx =
ω 0
f (X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ)) dξ.
(2.8)
Preuve. Considérons une base (e 1 ,e 2 ,e 3 ) de R 3 . L’élément de volume dξ du
parallélépipède associé est donnée par le produit mixte ou le déterminant
des trois vecteurs dans la configuration initiale d’où dξ = (e 1 × e 2 ) · e 3 =
det(e 1 ,e 2 ,e 3 ). Ces vecteurs sont transformés dans la configuration déformée
en a i = [∇ ξ X]e i car