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2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
∂ t X(τ ; X(t; x, τ ),t) + [DX](τ ; X(t; x, τ ),t)∂ τ X(t; x, τ ) = 0.
D’autre part ∂ τ X(τ ; x, t) = u(X(τ ; x, t),τ ) et on remarque que [DX]u peut se
réécrire sous la forme u · ∇X. En renommant X(τ ; x, t) en x, on obtient donc
∂ t X(τ ; x, t) + u(x, t) · ∇X(τ ; x, t) = 0.
(2.1)
La fonction (x, t) → X(τ ; x, t) vérifie donc l’équation de transport ∂ t X + u ·
∇X = 0 accompagnée de la condition initiale en t = τ : X(τ ; x, τ ) = x.
Avec ces notations, on appelle variables lagrangiennes (t, ξ), et variables
eulériennes (x, t) où x = X(t; ξ, 0). On notera pour simplifier dans la suite cette
quantité X(t, ξ). A noter que de manière symétrique, on a d’aprés le lemme
ci-dessus ξ = X(0; x, t). Cette dernière quantité sera notée pour simplifier
Y (x, t). L’ordre des variables temporelle et spatiales dans ces deux versions
de caractéristiques est volontaire afin de refléter l’aspect système dynamique
des coordonnées lagrangiennes.
La régularité du changement de variables eulérien-lagrangien dans notre
cadre permet donc de passer d’une représentation à l’autre très simplement.
Pour résumer les propriétés de ces fonctions qui seront utilisées constamment
dans la suite, nous avons
X(t, Y (x, t)) = x,
Y (X(t, ξ),t) = ξ,
(2.2)
Y (x, t) = ξ
x = X(t, ξ)
Ω 0
Ωt
Fig. 2.1: Configuration initiale et déformée
et
∂ t X = u(X, t),
X(0,ξ) = ξ,
(2.3)
2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
∂ t X(τ ; X(t; x, τ ),t) + [DX](τ ; X(t; x, τ ),t)∂ τ X(t; x, τ ) = 0.
D’autre part ∂ τ X(τ ; x, t) = u(X(τ ; x, t),τ ) et on remarque que [DX]u peut se
réécrire sous la forme u · ∇X. En renommant X(τ ; x, t) en x, on obtient donc
∂ t X(τ ; x, t) + u(x, t) · ∇X(τ ; x, t) = 0.
(2.1)
La fonction (x, t) → X(τ ; x, t) vérifie donc l’équation de transport ∂ t X + u ·
∇X = 0 accompagnée de la condition initiale en t = τ : X(τ ; x, τ ) = x.
Avec ces notations, on appelle variables lagrangiennes (t, ξ), et variables
eulériennes (x, t) où x = X(t; ξ, 0). On notera pour simplifier dans la suite cette
quantité X(t, ξ). A noter que de manière symétrique, on a d’aprés le lemme
ci-dessus ξ = X(0; x, t). Cette dernière quantité sera notée pour simplifier
Y (x, t). L’ordre des variables temporelle et spatiales dans ces deux versions
de caractéristiques est volontaire afin de refléter l’aspect système dynamique
des coordonnées lagrangiennes.
La régularité du changement de variables eulérien-lagrangien dans notre
cadre permet donc de passer d’une représentation à l’autre très simplement.
Pour résumer les propriétés de ces fonctions qui seront utilisées constamment
dans la suite, nous avons
X(t, Y (x, t)) = x,
Y (X(t, ξ),t) = ξ,
(2.2)
Y (x, t) = ξ
x = X(t, ξ)
Ω 0
Ωt
Fig. 2.1: Configuration initiale et déformée
et
∂ t X = u(X, t),
X(0,ξ) = ξ,
(2.3)