2.1 Caractéristiques et flots associés à un champ de vitesse
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Z(τ ; x, t) = X(τ + t; x, t) − x. Le système différentiel en X est équivalent au
système différentiel ∂ τ Z = u(Z + x, τ + t) avec la condition initiale Z(0) = 0.
Comme u a été supposé de classe C 1 en (x, t), on en déduit que X est de
classe C 1 par rapport à (τ, x, t), en appliquant, par exemple, le théorème page
286 de [48] ou le théorème 3.6.1 page 151 de [28]. On pourra aussi consulter
[49], pages 182 à 192. En différentiant la relation du lemme 1 par rapport à x,
on obtient
[DX](t 1 ; X(t 2 ; ξ, t 1 ),t 2 )[DX](t 2 ; x, t 1 ) = I d ,
où I d représente la matrice identité de M d (R). Soit, en prenant le déterminant,
J(t 2 ; x, t 1 )J(t 1 ; X(t 2 ; ξ, t 1 ),t 2 ) = 1,
ce qui prouve que J ne s’annule pas. A (x, t) fixé, comme τ → ∇ x X(τ ; x, t)
vérifie ∂ τ M = ∇ x u(X(τ ; x, t),τ )M et M (t) = I d , et que τ → ∇ x u(X(τ ; x, t),τ )
est continu, τ → ∇ x X(τ ; x, t) et donc τ → J(τ ; x, t) sont de classe C 1 . Comme
J(t; x, t) = 1, et que J ne s’annule pas, il est toujours strictement positif. Pour
obtenir la formule de dérivation annoncée, nous utilisons le lemme élémentaire
suivant
Lemme 2.3. Soit A : (0,T ) → M d (R) un champ de matrices de classe
C 1 sur (0,T ), on a
d
dt
det A(t) = tr(Cof (A)
T A
(t)),
où Cof (A) est la matrice des cofacteurs de A. Si A est à valeurs dans
l’ensemble des matrices inversibles, l’expression ci-dessus devient
d
dt
det A(t) = detA(t)tr(A
−1
(t)A
(t)).
Ce lemme se démontre simplement en développant le déterminant pour obtenir la relation det(A + tE ij ) = det(A) + t[Cof(A)] ij où E ij désigne les vecteurs de la base canonique des matrices. En en déduit alors det
(A)(H) =
i,j [Cof(A)] ij H ij = Tr(Cof(A) T H) = det(A)Tr(A −1 H).
En appliquant ce lemme pour A(t) = ∇ ξ X(t; x, t 2 ) on a
∂ t (det(∇ ξ X(t; ξ, t 2 )) = det(∇ ξ X)Tr([∇ ξ X]
−1
∇ ξ (u(X(t, ξ),t)))
= det(∇ ξ X)div(u)(X(t, ξ),t).
Remarque 2.4. Il sera intéressant dans la suite de considérer la fonction t →
X(τ ; x, t), à τ et x fixés. Si nous dérivons l’identité démontrée au lemme 1 :
X(τ ; X(t; x, τ ),t) = x par rapport à t nous obtenons
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Z(τ ; x, t) = X(τ + t; x, t) − x. Le système différentiel en X est équivalent au
système différentiel ∂ τ Z = u(Z + x, τ + t) avec la condition initiale Z(0) = 0.
Comme u a été supposé de classe C 1 en (x, t), on en déduit que X est de
classe C 1 par rapport à (τ, x, t), en appliquant, par exemple, le théorème page
286 de [48] ou le théorème 3.6.1 page 151 de [28]. On pourra aussi consulter
[49], pages 182 à 192. En différentiant la relation du lemme 1 par rapport à x,
on obtient
[DX](t 1 ; X(t 2 ; ξ, t 1 ),t 2 )[DX](t 2 ; x, t 1 ) = I d ,
où I d représente la matrice identité de M d (R). Soit, en prenant le déterminant,
J(t 2 ; x, t 1 )J(t 1 ; X(t 2 ; ξ, t 1 ),t 2 ) = 1,
ce qui prouve que J ne s’annule pas. A (x, t) fixé, comme τ → ∇ x X(τ ; x, t)
vérifie ∂ τ M = ∇ x u(X(τ ; x, t),τ )M et M (t) = I d , et que τ → ∇ x u(X(τ ; x, t),τ )
est continu, τ → ∇ x X(τ ; x, t) et donc τ → J(τ ; x, t) sont de classe C 1 . Comme
J(t; x, t) = 1, et que J ne s’annule pas, il est toujours strictement positif. Pour
obtenir la formule de dérivation annoncée, nous utilisons le lemme élémentaire
suivant
Lemme 2.3. Soit A : (0,T ) → M d (R) un champ de matrices de classe
C 1 sur (0,T ), on a
d
dt
det A(t) = tr(Cof (A)
T A
(t)),
où Cof (A) est la matrice des cofacteurs de A. Si A est à valeurs dans
l’ensemble des matrices inversibles, l’expression ci-dessus devient
d
dt
det A(t) = detA(t)tr(A
−1
(t)A
(t)).
Ce lemme se démontre simplement en développant le déterminant pour obtenir la relation det(A + tE ij ) = det(A) + t[Cof(A)] ij où E ij désigne les vecteurs de la base canonique des matrices. En en déduit alors det
(A)(H) =
i,j [Cof(A)] ij H ij = Tr(Cof(A) T H) = det(A)Tr(A −1 H).
En appliquant ce lemme pour A(t) = ∇ ξ X(t; x, t 2 ) on a
∂ t (det(∇ ξ X(t; ξ, t 2 )) = det(∇ ξ X)Tr([∇ ξ X]
−1
∇ ξ (u(X(t, ξ),t)))
= det(∇ ξ X)div(u)(X(t, ξ),t).
Remarque 2.4. Il sera intéressant dans la suite de considérer la fonction t →
X(τ ; x, t), à τ et x fixés. Si nous dérivons l’identité démontrée au lemme 1 :
X(τ ; X(t; x, τ ),t) = x par rapport à t nous obtenons