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2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
Pour ξ ∈ Ω et s ∈]0,T ], On note τ → X(τ ; ξ, s) la solution du système
différentiel
∂ τ X = u(X, τ )
muni de la condition initiale
X(s) = ξ.
La solution de ce système existe et est unique dans le cadre classique par
exemple sous l’hypothèse que le champ de vitesse est lipschitzien en x, uniformément en t. La condition de non-glissement au bord faite sur le champ
de vitesses implique que ces trajectoires n’atteignent pas le bord du domaine.
Des solutions plus générales, définies presque partout, ont été introduites par
Lions et DiPerna [52]. Nous nous sommes placés dans le cadre d’un champ
de vitesse régulier (hypothèse (H), qui est plus forte que u uniformément
lipschitzien car Ω est borné), de sorte que nous considérons ici des solutions
classiques.
L’interprétation physique de X(τ ; ξ, s) est la position à l’instant τ d’une
particule du milieu continu située à l’instant s à la position ξ. Commençons
par le résultat suivant :
Lemme 2.1. Sous l’hypothèse (H) on a
∀(t 1 ,t 2 ) ∈ [0,T ]
2 , ∀x ∈ Ω,
X(t 1 ; X(t 2 ; x, t 1 ),t 2 ) = x.
Preuve. Soit ξ = X(t 2 ; x, t 1 ). Alors X(τ ; ξ, t 2 ) est solution du système différentiel ∂ τ X = u(X, τ ) muni de la condition X(t 2 ) = ξ. Mais X(τ ; x, t 1 ) est
solution du même système et vérifie X(t 2 ; x, t 1 ) = ξ. D’après (H) la solution
de ce système est unique donc X(τ ; x, t 1 ) = X(τ ; ξ, t 2 ). En particulier nous
avons l’identité annoncée en τ = t 1 , puisque X(t 1 ; x, t 1 ) = x.
La propriété ci-dessus nous indique que la transformation x → X(t 1 ; x, t 2 )
est inversible, d’inverse X(t 2 ; ·,t 1 ). En fait nous avons plus :
Proposition 2.2. L’application x → X(t 1 ; x, t 2 ) est un C 1 -difféomorphisme de Ω dans lui-même. Son jacobien J(t 1 ; x, t 2 ), continu en x,
est strictement positif, tel que t → J(t; x, t 2 ) est de classe C 1 et vérifie
∂ t J(t 1 ; x, t 2 ) = (divu)(X(t 1 ; x, t 2 ),t 1 )J(t 1 ; x, t 2 ).
Preuve. L’inversibilité de x → X(t 1 ; x, t 2 ) provient du lemme ci-dessus. La
régularité C 1 de X est classique sous les hypothèses faites sur u ; cela
correspond en effet à un résultat de régularité de la solution d’un système différentiel par rapport à des paramètres. Pour voir ceci, posons
2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
Pour ξ ∈ Ω et s ∈]0,T ], On note τ → X(τ ; ξ, s) la solution du système
différentiel
∂ τ X = u(X, τ )
muni de la condition initiale
X(s) = ξ.
La solution de ce système existe et est unique dans le cadre classique par
exemple sous l’hypothèse que le champ de vitesse est lipschitzien en x, uniformément en t. La condition de non-glissement au bord faite sur le champ
de vitesses implique que ces trajectoires n’atteignent pas le bord du domaine.
Des solutions plus générales, définies presque partout, ont été introduites par
Lions et DiPerna [52]. Nous nous sommes placés dans le cadre d’un champ
de vitesse régulier (hypothèse (H), qui est plus forte que u uniformément
lipschitzien car Ω est borné), de sorte que nous considérons ici des solutions
classiques.
L’interprétation physique de X(τ ; ξ, s) est la position à l’instant τ d’une
particule du milieu continu située à l’instant s à la position ξ. Commençons
par le résultat suivant :
Lemme 2.1. Sous l’hypothèse (H) on a
∀(t 1 ,t 2 ) ∈ [0,T ]
2 , ∀x ∈ Ω,
X(t 1 ; X(t 2 ; x, t 1 ),t 2 ) = x.
Preuve. Soit ξ = X(t 2 ; x, t 1 ). Alors X(τ ; ξ, t 2 ) est solution du système différentiel ∂ τ X = u(X, τ ) muni de la condition X(t 2 ) = ξ. Mais X(τ ; x, t 1 ) est
solution du même système et vérifie X(t 2 ; x, t 1 ) = ξ. D’après (H) la solution
de ce système est unique donc X(τ ; x, t 1 ) = X(τ ; ξ, t 2 ). En particulier nous
avons l’identité annoncée en τ = t 1 , puisque X(t 1 ; x, t 1 ) = x.
La propriété ci-dessus nous indique que la transformation x → X(t 1 ; x, t 2 )
est inversible, d’inverse X(t 2 ; ·,t 1 ). En fait nous avons plus :
Proposition 2.2. L’application x → X(t 1 ; x, t 2 ) est un C 1 -difféomorphisme de Ω dans lui-même. Son jacobien J(t 1 ; x, t 2 ), continu en x,
est strictement positif, tel que t → J(t; x, t 2 ) est de classe C 1 et vérifie
∂ t J(t 1 ; x, t 2 ) = (divu)(X(t 1 ; x, t 2 ),t 1 )J(t 1 ; x, t 2 ).
Preuve. L’inversibilité de x → X(t 1 ; x, t 2 ) provient du lemme ci-dessus. La
régularité C 1 de X est classique sous les hypothèses faites sur u ; cela
correspond en effet à un résultat de régularité de la solution d’un système différentiel par rapport à des paramètres. Pour voir ceci, posons