Chapitre 2
Outils mathématiques pour la mécanique
des milieux continus
Dans ce chapitre nous donnons un certain nombre de définitions et de
résultats mathématiques relatifs aux notions de trajectoires dans un champ
de vitesses régulier. Nous rappelons ensuite certains principes de conservation
de la mécanique des milieux continus.
Nous nous plaçons sous l’hypothèse sur le champ de vitesse régulier :
(H)
u ∈ C
1
(Ω × [0,T ]) et u = 0 sur ∂Ω × [0,T ]
où [0,T ] est un intervalle de temps fixé.
2.1 Caractéristiques et flots associés à un champ de
vitesse
Commençons par donner quelques notations et rappeler des résultats
élémentaires de calcul différentiel relatifs aux trajectoires associées à un
champ de vitesse.
On note pour une fonction f de R d dans R, Df sa différentielle et ∇f
son gradient. On a donc pour tout h ∈ R d , Df (x)(h) = ∇f (x) · h. Pour un
champ de vecteurs v : R d → R d , [Dv] est la différentielle de v, c’est à dire
l’application linéaire de matrice ∇v = [∂ x j v i ] i,j . Avec ces notations, pour
ϕ : R d → R, v : R d → R d et X : R d ×]0,T [→ R d on a les formules de dérivations
composées suivantes :
∂ t (ϕ(X)) = ∇ϕ(X) · ∂ t X,
∇(ϕ(X)) = [∇X]
T
(∇ϕ)(X),
∇(v(X)) = [∇v](X)[∇X],
où l’on a noté multiplicativement la composition des applications.
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G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_2