vi
Pour une revue assez complète de ces différentes méthodes on se référera
au livre récent de T. Richter [119] pour les méthodes ALE et Eulériennes, et
à l’article de revue [93] pour les méthodes de frontière immergée.
L’objet du présent livre est de décrire des modélisations eulériennes de l’interaction fluide-structure s’appuyant sur des fonctions Level Set. Les méthodes
Level Set sont bien connues depuis les ouvrages de Sethian [125] et Osher
[111] pour le traitement d’images et le calcul d’écoulements multi-phasiques.
Plus récemment, elles ont été aussi utilisées dans le contexte de l’optimisation de forme [4]. Ces méthodes permettent le suivi implicite d’interfaces
lagrangiennes (avec des champs d’advection physiques pour les écoulements
multiphasiques ou virtuels pour le traitement d’images ou l’optimisation de
forme) par résolution d’équations aux dérivées partielles de transport.
Depuis une dizaine d’années, un certain nombre de travaux, notamment par
les auteurs de cet ouvrage, permettent de les utiliser pour modéliser les forces
résultant de déformations de solides élastiques ou pour traiter des contacts
entre objets et permettre de faire des calculs d’interaction fluide-structure
dans un cadre eulérien. Ce livre reprend ces différents travaux. Son objectif
est de décrire les modèles et non pas les méthodes de discrétisation numérique,
sauf pour ce qui concerne les discrétisations en temps explicite ou implicite
qui impactent la stabilité des modèles. De fait, un des intérêts des méthodes
eulériennes est qu’elles permettent d’utiliser des méthodes conventionnelles en
dynamique des fluides (différences finies, volumes finis ..) sans faire intervenir
de questions spécifiques au couplage avec les structures solides. Dans cet
ouvrage, les techniques de discrétisation spatiale utilisées ne sont évoquées
que brièvement pour décrire les illustrations numériques.
Le plan du livre est le suivant. Dans le chapitre 1 nous faisons des rappels sur
les techniques de capture ou de suivi d’interface. Nous montrons notamment
comment utiliser des fonctions Level Set pour traduire de manière volumique
des forces surfaciques, ce qui est évidemment un point central dans ces
méthodes, et nous précisons comment ces méthodes permettent en dimension
deux et trois de rendre compte des courbures. Nous développons les exemples
de méthodes Level Set évoqués précédemment en traitement d’image et pour
les écoulements multiphasiques, et nous abordons les questions de stabilité
en méthodes Level Set dans l’exemple du traitement des termes de tension
superficielle, questions qui seront reprises dans le chapitre 3. Le chapitre 2
complète les rappels du chapitre 1 par des notions de calcul différentiel sur
les trajectoires dans les descriptions lagrangiennes et eulériennes. Les lois de
conservation dans ces descriptions sont aussi rappelées.
Le chapitre3 traite du premier exemple d’interaction fluide-structure, celui
d’une membrane élastique immergé dans un fluide incompressible, d’abord
dans le cas d’une membrane réagissant à la variation d’aire puis dans le
cas général d’une membrane réagissant aussi au cisaillement. Il évoque aussi
le cas des courbes élastiques immergées dans un espace de dimension 3.
Avant-propos
Pour une revue assez complète de ces différentes méthodes on se référera
au livre récent de T. Richter [119] pour les méthodes ALE et Eulériennes, et
à l’article de revue [93] pour les méthodes de frontière immergée.
L’objet du présent livre est de décrire des modélisations eulériennes de l’interaction fluide-structure s’appuyant sur des fonctions Level Set. Les méthodes
Level Set sont bien connues depuis les ouvrages de Sethian [125] et Osher
[111] pour le traitement d’images et le calcul d’écoulements multi-phasiques.
Plus récemment, elles ont été aussi utilisées dans le contexte de l’optimisation de forme [4]. Ces méthodes permettent le suivi implicite d’interfaces
lagrangiennes (avec des champs d’advection physiques pour les écoulements
multiphasiques ou virtuels pour le traitement d’images ou l’optimisation de
forme) par résolution d’équations aux dérivées partielles de transport.
Depuis une dizaine d’années, un certain nombre de travaux, notamment par
les auteurs de cet ouvrage, permettent de les utiliser pour modéliser les forces
résultant de déformations de solides élastiques ou pour traiter des contacts
entre objets et permettre de faire des calculs d’interaction fluide-structure
dans un cadre eulérien. Ce livre reprend ces différents travaux. Son objectif
est de décrire les modèles et non pas les méthodes de discrétisation numérique,
sauf pour ce qui concerne les discrétisations en temps explicite ou implicite
qui impactent la stabilité des modèles. De fait, un des intérêts des méthodes
eulériennes est qu’elles permettent d’utiliser des méthodes conventionnelles en
dynamique des fluides (différences finies, volumes finis ..) sans faire intervenir
de questions spécifiques au couplage avec les structures solides. Dans cet
ouvrage, les techniques de discrétisation spatiale utilisées ne sont évoquées
que brièvement pour décrire les illustrations numériques.
Le plan du livre est le suivant. Dans le chapitre 1 nous faisons des rappels sur
les techniques de capture ou de suivi d’interface. Nous montrons notamment
comment utiliser des fonctions Level Set pour traduire de manière volumique
des forces surfaciques, ce qui est évidemment un point central dans ces
méthodes, et nous précisons comment ces méthodes permettent en dimension
deux et trois de rendre compte des courbures. Nous développons les exemples
de méthodes Level Set évoqués précédemment en traitement d’image et pour
les écoulements multiphasiques, et nous abordons les questions de stabilité
en méthodes Level Set dans l’exemple du traitement des termes de tension
superficielle, questions qui seront reprises dans le chapitre 3. Le chapitre 2
complète les rappels du chapitre 1 par des notions de calcul différentiel sur
les trajectoires dans les descriptions lagrangiennes et eulériennes. Les lois de
conservation dans ces descriptions sont aussi rappelées.
Le chapitre3 traite du premier exemple d’interaction fluide-structure, celui
d’une membrane élastique immergé dans un fluide incompressible, d’abord
dans le cas d’une membrane réagissant à la variation d’aire puis dans le
cas général d’une membrane réagissant aussi au cisaillement. Il évoque aussi
le cas des courbes élastiques immergées dans un espace de dimension 3.
Avant-propos