34
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Proposition 1.14. Le schéma semi-explicite défini par les équations
(1.60), (1.61) et (1.62) est inconditionnellement stable.
Preuve. On rappelle les notations déjà introduites pour les schémas précédents :
α k = sin
2
k 1 Δx
2
+ sin
2
k 2 Δx
2
,
β k =
4λΔt
εΔx 2 α k , δ k = 1 +
4μΔt
Δx 2 α k = 1 +
με
λ
β k .
Le schéma (1.60),(1.61),(1.62) se traduit en décomposition de Fourier par le
système
ˆ
ψ
n+1
k
(1 + Δtβ k ) = ˆ
ϕ
n
k − Δtˆ u
n
k
(1.63)
δ k ˆ
u
n+1
k
= ˆ
u
n
k + β k ˆ
ψ
n+1
k
(1.64)
ˆ
ϕ
n+1
= ˆ
ϕ
n
k − Δtˆ u
n+1
k
(1.65)
ou, sous forme matricielle après substitution de la première équation dans la
seconde
A k
ˆ
u
n+1
k
ˆ
ϕ
n+1
k
= B k
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
avec
A k =
δ k 0
Δt 1
B k =
1
1+Δtβ k
β k
1+Δtβ k
0
1
.
Pour k = 0, alors δ 0 = 1 et β 0 = 0 et on voit facilement que
A
−1
0 B 0
n =
1 0
−nΔt 1
et le système est stable pour ce mode.
Regardons donc le cas k = 0. Les valeurs propres de A
−1
k B k sont les
solutions de det(A
−1
k B k − rI) = 0 ou encore det(B k − rA k ) = 0 Ce qui conduit
à l’équation
β
k δ
k r
2
− r[1 + β
k δ
k − Δtβ k ] + 1 = 0
où on a posé β
k = 1+Δtβ k . Le produit des racines r 1 r 2 est égal à 1/(β
k δ
k ) < 1
pour k
= 0. Si les racines sont complexes elles sont donc de module strictement
inférieur à 1. Si elles sont réelles elles sont de même signe, positives car leur
somme est égale 1 + β
k δ k − Δtβ k = 2 + δ k + Δtβ k δ k > 0. On peut de plus
écrire, pour Δt > 0,
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Proposition 1.14. Le schéma semi-explicite défini par les équations
(1.60), (1.61) et (1.62) est inconditionnellement stable.
Preuve. On rappelle les notations déjà introduites pour les schémas précédents :
α k = sin
2
k 1 Δx
2
+ sin
2
k 2 Δx
2
,
β k =
4λΔt
εΔx 2 α k , δ k = 1 +
4μΔt
Δx 2 α k = 1 +
με
λ
β k .
Le schéma (1.60),(1.61),(1.62) se traduit en décomposition de Fourier par le
système
ˆ
ψ
n+1
k
(1 + Δtβ k ) = ˆ
ϕ
n
k − Δtˆ u
n
k
(1.63)
δ k ˆ
u
n+1
k
= ˆ
u
n
k + β k ˆ
ψ
n+1
k
(1.64)
ˆ
ϕ
n+1
= ˆ
ϕ
n
k − Δtˆ u
n+1
k
(1.65)
ou, sous forme matricielle après substitution de la première équation dans la
seconde
A k
ˆ
u
n+1
k
ˆ
ϕ
n+1
k
= B k
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
avec
A k =
δ k 0
Δt 1
B k =
1
1+Δtβ k
β k
1+Δtβ k
0
1
.
Pour k = 0, alors δ 0 = 1 et β 0 = 0 et on voit facilement que
A
−1
0 B 0
n =
1 0
−nΔt 1
et le système est stable pour ce mode.
Regardons donc le cas k = 0. Les valeurs propres de A
−1
k B k sont les
solutions de det(A
−1
k B k − rI) = 0 ou encore det(B k − rA k ) = 0 Ce qui conduit
à l’équation
β
k δ
k r
2
− r[1 + β
k δ
k − Δtβ k ] + 1 = 0
où on a posé β
k = 1+Δtβ k . Le produit des racines r 1 r 2 est égal à 1/(β
k δ
k ) < 1
pour k
= 0. Si les racines sont complexes elles sont donc de module strictement
inférieur à 1. Si elles sont réelles elles sont de même signe, positives car leur
somme est égale 1 + β
k δ k − Δtβ k = 2 + δ k + Δtβ k δ k > 0. On peut de plus
écrire, pour Δt > 0,