1.6 Aspects numériques II : stabilité
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1.6.3 Schéma semi-implicite
On a donc d’un côté un schéma explicite, simple à implémenter et peu
coûteux, mais qui demande des pas de temps avec une dépendance en Δx 3/2
qui peuvent s’avérer très petits dans les cas à faible viscosité et/ou grande
tension superficielle, et, d’un autre côté, un schéma implicite, de mise en oeuvre
coûteuse mais inconditionnellement stable. Dans cette section on construit un
schéma semi-explicite, de coût comparable à celui du schéma explicite mais
avec de meilleures propriétés de stabilité.
Pour écrire ce nouveau schéma, on part du schéma implicite (1.59) pour
écrire à partir de la première équation
u
n+1
j
= u
n
j + μΔtΔ d u
n+1
j
−
λ
ε
ΔtΔ d ϕ
n+1
j
.
Ce qui permet d’obtenir à partir de la deuxième équation
ϕ
n+1
j
= ϕ
n
j − Δtu
n
j + μΔt
2 Δ d u
n+1
j
+
λ
ε
Δt
2 Δ d ϕ
n+1
j
L’idée est de calculer un prédicteur de ϕ n+1 en oubliant le terme en Δ d u n+1
dans l’équation ci-dessus. En d’autres termes on commence par résoudre
ψ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
−
λ
ε
Δt
2 Δ d ψ
n+1
j
= −u
n
j
(1.60)
puis l’équation sur u
u
n+1
j
− u n
j
Δt
− μΔ d u
n+1
j
= −
λ
ε
Δ d ψ
n+1
j
(1.61)
et enfin l’équation de transport
ϕ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
+ u
n+1
j
= 0.
(1.62)
On peut remarquer que (1.60) consiste en un pas de temps d’un schéma
implicite pour une équation de diffusion, avec condition initiale ϕ n et coefficient
de diffusion Δt λ/ε. Par rapport au schéma explicite vu précédemment, ψ n+1
peut être vu comme une perturbation de ϕ n pour le calcul de la force de
tension superficielle dans le fluide.
Il est aussi important de noter que le transport de l’interface reste assuré
par l’équation de transport originale (1.62) et que ψ n+1 n’intervient que de
manière auxiliaire pour le calcul du membre de droite de l’équation pour u (ou
pour l’équation de Navier-Stokes lorsque le schéma est utilisé sur le modèle
complet).
La justification de ce schéma est donnée par la
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1.6.3 Schéma semi-implicite
On a donc d’un côté un schéma explicite, simple à implémenter et peu
coûteux, mais qui demande des pas de temps avec une dépendance en Δx 3/2
qui peuvent s’avérer très petits dans les cas à faible viscosité et/ou grande
tension superficielle, et, d’un autre côté, un schéma implicite, de mise en oeuvre
coûteuse mais inconditionnellement stable. Dans cette section on construit un
schéma semi-explicite, de coût comparable à celui du schéma explicite mais
avec de meilleures propriétés de stabilité.
Pour écrire ce nouveau schéma, on part du schéma implicite (1.59) pour
écrire à partir de la première équation
u
n+1
j
= u
n
j + μΔtΔ d u
n+1
j
−
λ
ε
ΔtΔ d ϕ
n+1
j
.
Ce qui permet d’obtenir à partir de la deuxième équation
ϕ
n+1
j
= ϕ
n
j − Δtu
n
j + μΔt
2 Δ d u
n+1
j
+
λ
ε
Δt
2 Δ d ϕ
n+1
j
L’idée est de calculer un prédicteur de ϕ n+1 en oubliant le terme en Δ d u n+1
dans l’équation ci-dessus. En d’autres termes on commence par résoudre
ψ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
−
λ
ε
Δt
2 Δ d ψ
n+1
j
= −u
n
j
(1.60)
puis l’équation sur u
u
n+1
j
− u n
j
Δt
− μΔ d u
n+1
j
= −
λ
ε
Δ d ψ
n+1
j
(1.61)
et enfin l’équation de transport
ϕ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
+ u
n+1
j
= 0.
(1.62)
On peut remarquer que (1.60) consiste en un pas de temps d’un schéma
implicite pour une équation de diffusion, avec condition initiale ϕ n et coefficient
de diffusion Δt λ/ε. Par rapport au schéma explicite vu précédemment, ψ n+1
peut être vu comme une perturbation de ϕ n pour le calcul de la force de
tension superficielle dans le fluide.
Il est aussi important de noter que le transport de l’interface reste assuré
par l’équation de transport originale (1.62) et que ψ n+1 n’intervient que de
manière auxiliaire pour le calcul du membre de droite de l’équation pour u (ou
pour l’équation de Navier-Stokes lorsque le schéma est utilisé sur le modèle
complet).
La justification de ce schéma est donnée par la