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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
u
n+1
j
− u n
j
Δt
− μΔ d u
n+1
j
= −
λ
ε
Δ d ϕ
n+1
j
ϕ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
+ u
n+1
j
= 0
u 0
j = f j , ϕ 0
j = g j ,
(1.59)
Ce schéma nécessite l’inversion d’un système linéaire. Dans le cas du sytème
d’origine (1.32)-(1.34) il requiert le calcul d’un point fixe, ce qui le rend
coûteux. La contre-partie est dans le résultat suivant.
Proposition 1.13. Le schéma (1.59) est inconditionnellement stable.
Preuve. Dans la décomposition en mode de Fourier (1.51)-(1.52), et avec les
notations de la preuve précédente, le schéma (1.59) s’écrit pour chaque mode
k :
δ k ˆ
u
n+1
k
− β k ˆ
ϕ
n+1
k
= u
n
k
Δtˆ u
n+1
k
+ ˆ
ϕ
n+1
k
= ˆ
ϕ
n
k
ou encore
ˆ
u
n+1
k
ˆ
ϕ
n+1
k
=
1
δ k + β k Δt
1 β k
−Δt δ k
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
= A
k
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
.
Les valeurs propres de A
k sont les racines du polynôme
(
1
δ k + β k Δt
−r)(
δ k
δ k + β k Δt
−r)+
β k Δt
δ k + β k Δt
= r
2
−r(
1 + δ k
δ k + β k Δt
)+
1
δ k + β k δ k
.
Si son discriminant est négatif, ses racines ont comme module (δ k + β k Δt) −1 <
1 et le système est stable.
Si son discriminant est positif, ses 2 racines sont positives, car de produit et
somme positives, et la plus grande est donnée par
r + =
1 + δ k +
(1 − δ k ) 2 − 4β k Δt
2(δ k + β k Δt)
.
Si k = 0 on vérifie facilement que ˆ
u n
0 = ˆ
u 0
0 et ˆ
ϕ n
0 = ˆ
ϕ 0
0 − nΔtˆ u 0
0 . Si k
= 0 alors
β k > 0 et
r + <
1 + δ k + δ k − 1
2δ k
= 1.
Le schéma est donc inconditionnellement stable.