1.6 Aspects numériques II : stabilité
31
2λΔt
εΔx 2 ≤
1
Δt − 2μ
ε
λ
,
ou encore
λΔt
2
− 2μεΔt −
ε
2
Δx
2
≤ 0.
On voit facilement en considérant le polynôme en Δt ci-dessus et ses 2 racines
réelles que cette inégalité entraîne à son tour l’inégalité
Δt ≤
με +
μ 2 ε 2 +
λ
2 εΔx 2
λ
ce qui contredit (1.57). On a donc prouvé que r − < −1, ce qui montre que le
schéma n’est pas stable et achève cette démonstration.
Remarque 1.12. Faisons quelques remarques sur ce résultat de stabilité.
– En pratique on choisit en général ε de l’ordre de Δx, si bien que la
dépendance du pas de temps par rapport au pas d’espace est en Δx 3/2 .
– En absence de viscosité la condition de stabilité (1.54) devient
Δt ≤
ε
2λ
Δx,
comme on pouvait s’y attendre au vu de l’équation des ondes (1.50)
satisfaite par ϕ dans ce cas. Cette condition rejoint la condition trouvée
dans [21] pour des écoulements a fort nombre de Reynolds.
– Pour des valeurs grandes de la viscosité (et/ou des valeurs petites de la
tension superficielle), on trouve la condition
Δt ≤
2μ
λ
ε
condition analogue à la condition trouvée dans [71]. Notons enfin que
pour le schéma explicite qui utiliserait u n au lieu de u n+1 dans l’équation
pour ϕ ; la condition de stabilité serait plus exigeante. Dans le cas d’une
viscosité nulle, par exemple, le schéma obtenu serait inconditionnellement
instable (voir [19] pour plus de détails).
1.6.2 Schéma implicite
Un schéma implicite naturel pour le système (1.48)-(1.49) consiste à prendre
ϕ n+1 au lieu de ϕ n dans le membre de droite pour l’équation sur u. On obtient
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2λΔt
εΔx 2 ≤
1
Δt − 2μ
ε
λ
,
ou encore
λΔt
2
− 2μεΔt −
ε
2
Δx
2
≤ 0.
On voit facilement en considérant le polynôme en Δt ci-dessus et ses 2 racines
réelles que cette inégalité entraîne à son tour l’inégalité
Δt ≤
με +
μ 2 ε 2 +
λ
2 εΔx 2
λ
ce qui contredit (1.57). On a donc prouvé que r − < −1, ce qui montre que le
schéma n’est pas stable et achève cette démonstration.
Remarque 1.12. Faisons quelques remarques sur ce résultat de stabilité.
– En pratique on choisit en général ε de l’ordre de Δx, si bien que la
dépendance du pas de temps par rapport au pas d’espace est en Δx 3/2 .
– En absence de viscosité la condition de stabilité (1.54) devient
Δt ≤
ε
2λ
Δx,
comme on pouvait s’y attendre au vu de l’équation des ondes (1.50)
satisfaite par ϕ dans ce cas. Cette condition rejoint la condition trouvée
dans [21] pour des écoulements a fort nombre de Reynolds.
– Pour des valeurs grandes de la viscosité (et/ou des valeurs petites de la
tension superficielle), on trouve la condition
Δt ≤
2μ
λ
ε
condition analogue à la condition trouvée dans [71]. Notons enfin que
pour le schéma explicite qui utiliserait u n au lieu de u n+1 dans l’équation
pour ϕ ; la condition de stabilité serait plus exigeante. Dans le cas d’une
viscosité nulle, par exemple, le schéma obtenu serait inconditionnellement
instable (voir [19] pour plus de détails).
1.6.2 Schéma implicite
Un schéma implicite naturel pour le système (1.48)-(1.49) consiste à prendre
ϕ n+1 au lieu de ϕ n dans le membre de droite pour l’équation sur u. On obtient