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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
1 +
με
λ
β k
r
2
−
2 +
με
λ
− Δt
β k
r + 1.
(1.56)
Supposons
Δt >
με +
μ 2 ε 2 +
λ
2 εΔx 2
λ
.
(1.57)
et montrons que l’une des valeurs propres est de module supérieur à 1, ce qui
contredit la stabilité. Le discriminant du polynôme (1.56) est donné par
Δ k = 4Δtβ k
με
λ
− Δt
2 λ
εΔx 2 α k − 1
D’après (1.57) on a aussi
Δt >
με
λ
+ Δx
ε
2λ
et donc
με
λ
− Δt
2 λ
εΔx 2 >
1
2
Par conséquent il existe des valeurs de k telles que le discriminant de (1.56)
est positif. Les valeurs propres sont donc réelles. Notons r − la plus petite
valeur propre et montrons par l’absurde que r − < −1. On peut écrire
r − ≥ −1
⇔ 2 +
με
λ
− Δt
β k −
β k
με
λ
− Δt
2
β k − 4Δt
≥ −2 − 2
με
λ
β k
⇔ 4 +
3με
λ
− Δt
β k ≥
β k
με
λ
− Δt
2
β k − 4Δt ≥ 0
En élevant au carré cette inégalité on obtient
r − ≥ −1 ⇒
με
λ
2με
λ
− Δt
β
2
k +
6με
λ
− Δt
β k + 4 ≥ 0.
(1.58)
Considérons le polynôme en β k ci-dessus. Comme, d’après (1.57), Δt > 2με/λ,
ses racines sont réelles de signes opposés et données par β − = −
λ
με
, β + =
4
Δt −
2με
λ
. D’après (1.57) on a Δt >
2με
λ et β + > 0 et on déduit de (1.58) que
l’on doit avoir β k ≤ β + . Or si β k ≤ β + pour tout k cela implique