1.6 Aspects numériques II : stabilité
29
1.6.1 Schéma explicite
Un schéma explicite naturel pour le système (1.48)-(1.49) s’écrit
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
u
n+1
j
− u n
j
Δt
− μΔ d u
n+1
j
= −
λ
ε
Δ d ϕ n
j
ϕ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
+ u
n+1
j
= 0
u 0
j = f j , ϕ 0
j = g j ,
(1.53)
où Δ d dénote le laplacien centré classique :
Δ d u j =
u j 1 +1,j 2 − 2u j 1 ,j 2 + u j 1 −1,j 2
(Δx) 2
+
u j 1 ,j 2 +1 − 2u j 1 ,j 2 + u j 1 j 2 −1
(Δx) 2
pour j = (j 1 ,j 2 ). Notons que le schéma ci-dessus est explicite pour ce qui
concerne le couplage entre u et ϕ, il suffit pour cela de résoudre la première
équation avant la deuxième, mais, classiquement, implicite dans le traitement
de la diffusion de u. La stabilité de ce schéma est décrite par le résultat suivant.
Proposition 1.11. Une condition nécessaire pour la stabilité du schéma
(1.53) est
Δt ≤
με +
μ 2 ε 2 +
λ
2 εΔx 2
λ
(1.54)
Preuve. Le système (1.53) se traduit, dans la décomposition (1.51)-(1.52),
pour chaque nombre k = (k 1 ,k 2 ) en le système linéaire
⎧
⎨
⎩
1 +
4μΔt
Δx 2 α k
ˆ
u
n+1
k
= ˆ
u n
k +
4λΔt
εΔx 2 α k ˆ
ϕ n
k
ˆ
ϕ
n+1
k
+ Δtˆ u
n+1
k
= ˆ
ϕ n
k
(1.55)
avec
α k = sin
2
k 1 Δx
2
+ sin
2
k 2 Δx
2
ou encore, sous forme matricielle
ˆ
u
n+1
k
ˆ
ϕ
n+1
k
=
⎛
⎝
1
δ k
β k
δ k
−
Δt
δ k
1 − Δt
β k
δ k
⎞
⎠
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
= A k
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
avec β k =
4λΔt
εΔx 2 α k et δ k = 1 +
4μΔt
Δx 2 α k = 1 +
με
λ β k .
Les valeurs propres de la matrice A k sont les racines du polynôme
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1.6.1 Schéma explicite
Un schéma explicite naturel pour le système (1.48)-(1.49) s’écrit
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
u
n+1
j
− u n
j
Δt
− μΔ d u
n+1
j
= −
λ
ε
Δ d ϕ n
j
ϕ
n+1
j
− ϕ n
j
Δt
+ u
n+1
j
= 0
u 0
j = f j , ϕ 0
j = g j ,
(1.53)
où Δ d dénote le laplacien centré classique :
Δ d u j =
u j 1 +1,j 2 − 2u j 1 ,j 2 + u j 1 −1,j 2
(Δx) 2
+
u j 1 ,j 2 +1 − 2u j 1 ,j 2 + u j 1 j 2 −1
(Δx) 2
pour j = (j 1 ,j 2 ). Notons que le schéma ci-dessus est explicite pour ce qui
concerne le couplage entre u et ϕ, il suffit pour cela de résoudre la première
équation avant la deuxième, mais, classiquement, implicite dans le traitement
de la diffusion de u. La stabilité de ce schéma est décrite par le résultat suivant.
Proposition 1.11. Une condition nécessaire pour la stabilité du schéma
(1.53) est
Δt ≤
με +
μ 2 ε 2 +
λ
2 εΔx 2
λ
(1.54)
Preuve. Le système (1.53) se traduit, dans la décomposition (1.51)-(1.52),
pour chaque nombre k = (k 1 ,k 2 ) en le système linéaire
⎧
⎨
⎩
1 +
4μΔt
Δx 2 α k
ˆ
u
n+1
k
= ˆ
u n
k +
4λΔt
εΔx 2 α k ˆ
ϕ n
k
ˆ
ϕ
n+1
k
+ Δtˆ u
n+1
k
= ˆ
ϕ n
k
(1.55)
avec
α k = sin
2
k 1 Δx
2
+ sin
2
k 2 Δx
2
ou encore, sous forme matricielle
ˆ
u
n+1
k
ˆ
ϕ
n+1
k
=
⎛
⎝
1
δ k
β k
δ k
−
Δt
δ k
1 − Δt
β k
δ k
⎞
⎠
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
= A k
ˆ
u n
k
ˆ
ϕ n
k
avec β k =
4λΔt
εΔx 2 α k et δ k = 1 +
4μΔt
Δx 2 α k = 1 +
με
λ β k .
Les valeurs propres de la matrice A k sont les racines du polynôme