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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
dans une bande Ω = [−ε, +ε] × [−π, +π] 2 , en le complétant avec des conditions
aux limites périodiques sur les bords de Ω. Nous supposerons en outre que
ζ ≡ 1/2 dans son support.
On voit alors facilement que la solution de ce système vérifie
u 2 = u 3 = p = 0 , u 1 = u 1 (x 2 ,x 3 ) , ϕ = ϕ(x 2 ,x 3 ),
pour peu que les conditions initiales soient de cette forme, avec
∂ t u 1 − μΔ
u 1 =
λ
2ε
Δ
ϕ,
(1.48)
∂ t ϕ + u 1 = 0,
(1.49)
où on a noté Δ = ∂ 22 + ∂ 33 . Ce système est posé dans le domaine Ω =
[−π, +π] 2
C’est sur les solutions de ce système que porteront les analyses de stabilité
qui suivent. On peut déjà remarquer en remplaçant u 1 par −∂ t ϕ dans la
première équation que l’on obtient
∂
2
tt ϕ − μΔ
∂ t ϕ =
λ
2ε
Δ
ϕ.
(1.50)
En particulier, si μ = 0, il s’agit d’une équation des ondes pour ϕ dans les
directions transverses à la surface.
Malgré les hypothèses et simplifications faites pour aboutir à ces formes particulières de solutions on verra qu’elles permettent de mettre en évidence des
critères de stabilité qui recoupent l’expérience et d’autres analyses empiriques
de la littérature.
La discrétisation en temps de (1.32)-(1.34) conduit naturellement à des
schémas explicites et implicites. Plutôt que de linéariser les équations discrètes
obtenues à partir de (1.32)-(1.34), on peut de manière équivalente discrétiser
les équations linéarisées obtenues au-dessus. C’est cette approche que nous
allons suivre.
Dans toute la suite, on se donne un pas de temps Δt, un pas d’espace Δx
et une grille uniforme du plan (x 2 ,x 3 ) de Ω de noeuds x i = (−π + i 1 Δx, −π +
i 2 Δx), pour i = (i 1 ,i 2 ) ∈ [1,N] 2 avec NΔx = 2π. On notera (u, ϕ) la solution
de (1.48)-(1.49), u n
i ,ϕ n
i la solution discrète des schémas au temp t n = nΔt
et au point de grille iΔx. Enfin on considérera la transformation de Fourier
discrète d’une suite périodique (u i ,ϕ i ) de période N définie par
u
n
j =
k∈[1,N ] 2
ˆ
u k exp i (< j · k > Δx) ,
(1.51)
ϕ
n
j =
k∈[1,N ] 2
ˆ
ϕ k exp i (< j · k > Δx)
(1.52)
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
dans une bande Ω = [−ε, +ε] × [−π, +π] 2 , en le complétant avec des conditions
aux limites périodiques sur les bords de Ω. Nous supposerons en outre que
ζ ≡ 1/2 dans son support.
On voit alors facilement que la solution de ce système vérifie
u 2 = u 3 = p = 0 , u 1 = u 1 (x 2 ,x 3 ) , ϕ = ϕ(x 2 ,x 3 ),
pour peu que les conditions initiales soient de cette forme, avec
∂ t u 1 − μΔ
u 1 =
λ
2ε
Δ
ϕ,
(1.48)
∂ t ϕ + u 1 = 0,
(1.49)
où on a noté Δ = ∂ 22 + ∂ 33 . Ce système est posé dans le domaine Ω =
[−π, +π] 2
C’est sur les solutions de ce système que porteront les analyses de stabilité
qui suivent. On peut déjà remarquer en remplaçant u 1 par −∂ t ϕ dans la
première équation que l’on obtient
∂
2
tt ϕ − μΔ
∂ t ϕ =
λ
2ε
Δ
ϕ.
(1.50)
En particulier, si μ = 0, il s’agit d’une équation des ondes pour ϕ dans les
directions transverses à la surface.
Malgré les hypothèses et simplifications faites pour aboutir à ces formes particulières de solutions on verra qu’elles permettent de mettre en évidence des
critères de stabilité qui recoupent l’expérience et d’autres analyses empiriques
de la littérature.
La discrétisation en temps de (1.32)-(1.34) conduit naturellement à des
schémas explicites et implicites. Plutôt que de linéariser les équations discrètes
obtenues à partir de (1.32)-(1.34), on peut de manière équivalente discrétiser
les équations linéarisées obtenues au-dessus. C’est cette approche que nous
allons suivre.
Dans toute la suite, on se donne un pas de temps Δt, un pas d’espace Δx
et une grille uniforme du plan (x 2 ,x 3 ) de Ω de noeuds x i = (−π + i 1 Δx, −π +
i 2 Δx), pour i = (i 1 ,i 2 ) ∈ [1,N] 2 avec NΔx = 2π. On notera (u, ϕ) la solution
de (1.48)-(1.49), u n
i ,ϕ n
i la solution discrète des schémas au temp t n = nΔt
et au point de grille iΔx. Enfin on considérera la transformation de Fourier
discrète d’une suite périodique (u i ,ϕ i ) de période N définie par
u
n
j =
k∈[1,N ] 2
ˆ
u k exp i (< j · k > Δx) ,
(1.51)
ϕ
n
j =
k∈[1,N ] 2
ˆ
ϕ k exp i (< j · k > Δx)
(1.52)