1.6 Aspects numériques II : stabilité
27
∂ t u + u · ∇u + ∇p − μΔu = λH(ϕ)
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ,
(1.39)
div u = 0,
(1.40)
∂ t ϕ + (u · ∇)ϕ = 0.
(1.41)
On va dans la suite étudier la stabilité linéaire de certaines discrétisations
temporelles de ce système, au voisinage d’un état d’équilibre consistant en un
fluide au repos avec une interface plane (on notera que ce ne sont pas les seuls
états d’équilibre car la condition de compressibilité permet des états d’équilibre
qui ne sont pas de courbure nulle (les sphères en 3D). Sans restreindre la
généralité on peut supposer que l’interface coïncide avec un plan axial, ce qui
donne par exemple
¯
ϕ(x) = x 1 .
(1.42)
Cette fonction vérifie évidemment
|∇ ¯
ϕ| ≡ 1 , H( ¯
ϕ) ≡ 0.
La linéarisation du membre de droite de (1.39) ne fait donc intervenir que
le terme qui provient de la linéarisation de H. Dans la suite on notera ϕ la
variation de ϕ autour du profil d’équilibre ¯
ϕ. Un calcul différentiel élémentaire
nous donne
H( ¯
ϕ + ϕ) =
i
j
ϕ j
δ ij
|∇ ¯
ϕ|
−
¯
ϕ i ¯
ϕ j
|∇ ¯
ϕ| 3
ce qui, étant donnée la forme particulière de ¯
ϕ, nous donne
H( ¯
ϕ + ϕ) =
i
ϕ ii −
i,j
[ ¯
ϕ i ¯
ϕ j ]ϕ i j = Δϕ − ϕ 11 .
La linéarisation de l’équation de transport de ϕ est elle donnée par
∂ t ϕ + (u · ∇) ¯
ϕ = 0.
Si on cherche par conséquent une solution de la forme (u = (u 1 ,u 2 ,u 3 ),p, ¯
ϕ+ϕ)
la linéarisation du système (1.39)-(1.41) conduit au système
∂ t u 1 − ∂ 1 p − μΔu 1 = λ(Δϕ − ∂ 11 ϕ)
1
ε
ζ
ϕ
ε
(x 1 ),
(1.43)
∂ t u 2 − ∂ 2 p − μΔu 2 = 0,
(1.44)
∂ t u 3 − ∂ 3 p − μΔu 3 = 0,
(1.45)
∂ 1 u 1 + ∂ 2 u 2 + ∂ 3 u 3 = 0,
(1.46)
∂ t ϕ + u 1 = 0.
(1.47)
où on a noté ∂ t = ∂/∂t, ∂ i = ∂/∂x i pour i ∈ [1, 3] et ∂ 11 = ∂ 2 /∂x 2
1 . Dans la
mesure où l’interaction fluide-interface est limitée au support de
1
ε ζ
ϕ
ε
, et
pour simplifier l’analyse Fourier nous allons considérer le système (1.43)-(1.47)
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∂ t u + u · ∇u + ∇p − μΔu = λH(ϕ)
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ,
(1.39)
div u = 0,
(1.40)
∂ t ϕ + (u · ∇)ϕ = 0.
(1.41)
On va dans la suite étudier la stabilité linéaire de certaines discrétisations
temporelles de ce système, au voisinage d’un état d’équilibre consistant en un
fluide au repos avec une interface plane (on notera que ce ne sont pas les seuls
états d’équilibre car la condition de compressibilité permet des états d’équilibre
qui ne sont pas de courbure nulle (les sphères en 3D). Sans restreindre la
généralité on peut supposer que l’interface coïncide avec un plan axial, ce qui
donne par exemple
¯
ϕ(x) = x 1 .
(1.42)
Cette fonction vérifie évidemment
|∇ ¯
ϕ| ≡ 1 , H( ¯
ϕ) ≡ 0.
La linéarisation du membre de droite de (1.39) ne fait donc intervenir que
le terme qui provient de la linéarisation de H. Dans la suite on notera ϕ la
variation de ϕ autour du profil d’équilibre ¯
ϕ. Un calcul différentiel élémentaire
nous donne
H( ¯
ϕ + ϕ) =
i
j
ϕ j
δ ij
|∇ ¯
ϕ|
−
¯
ϕ i ¯
ϕ j
|∇ ¯
ϕ| 3
ce qui, étant donnée la forme particulière de ¯
ϕ, nous donne
H( ¯
ϕ + ϕ) =
i
ϕ ii −
i,j
[ ¯
ϕ i ¯
ϕ j ]ϕ i j = Δϕ − ϕ 11 .
La linéarisation de l’équation de transport de ϕ est elle donnée par
∂ t ϕ + (u · ∇) ¯
ϕ = 0.
Si on cherche par conséquent une solution de la forme (u = (u 1 ,u 2 ,u 3 ),p, ¯
ϕ+ϕ)
la linéarisation du système (1.39)-(1.41) conduit au système
∂ t u 1 − ∂ 1 p − μΔu 1 = λ(Δϕ − ∂ 11 ϕ)
1
ε
ζ
ϕ
ε
(x 1 ),
(1.43)
∂ t u 2 − ∂ 2 p − μΔu 2 = 0,
(1.44)
∂ t u 3 − ∂ 3 p − μΔu 3 = 0,
(1.45)
∂ 1 u 1 + ∂ 2 u 2 + ∂ 3 u 3 = 0,
(1.46)
∂ t ϕ + u 1 = 0.
(1.47)
où on a noté ∂ t = ∂/∂t, ∂ i = ∂/∂x i pour i ∈ [1, 3] et ∂ 11 = ∂ 2 /∂x 2
1 . Dans la
mesure où l’interaction fluide-interface est limitée au support de
1
ε ζ
ϕ
ε
, et
pour simplifier l’analyse Fourier nous allons considérer le système (1.43)-(1.47)