1.5 Aspects numériques I : consistance et précision
25
dans ce cas spécifique, utilisant 1000 marqueurs pour l’interface. Dans le cadre
eulérien, les équations de transport sont résolues par un schéma WENO5 sur
un maillage structuré de tailles 256 × 256 ou 512 × 512. On peut constater
que dans les parties fines du filament, ceux-ci sont mieux traités par la
méthode de redistanciation, ce qu’on peut attribuer au fait que les erreurs de
discrétisation dans la solution de l’équation de transport sont importantes
lorsque ϕ est très raide. Par contre dans les zones mieux résolues, on constate
aussi que l’équation de re-distanciation occasionne un déplacement artificiel
de l’interface.
Pour tester la capacité des différentes méthodes ci-dessus à permettre
un calcul correct des forces, nous reprenons le même champ de vitesse et
calculons la longueur du filament au temps au cours du temps. Ce calcul de
longueur représente ici un prototype de force surfacique qu’il s’agit de bien
calculer. Dans la figure 1.6, la courbe supérieure, qui montre une croissance
quasi linéaire de la longueur, est la courbe de référence obtenue comme
précédemment en suivant un grand nombre de marqueurs. Les courbes solides
sont obtenues par une méthode de renormalisation et les courbes en pointillés
par redistanciation. Les tests sont menés avec 64, 128 et 256 points. On
observe qu’à faible résolution la méthode de redistanciation finit par faire
totalement disparaitre le filament. A plus haute résolution les méthodes de
redistanciation et de renormalisation donnent des résultats comparables. La
méthode de renormalisation apparaît donc comme une méthode permettant
un calcul correct des forces, même en cas de fort étirement, sans affecter
l’équation de transport sur la fonction Level Set.
Un exemple complémentaire illustrant le comportement de la méthode
de renormalisation repose sur le test proposé par [130] pour introduire une
nouvelle manière d’approcher la mesure de Dirac. Dans cet article l’auteur
construit deux fonctions de Dirac discrètes approchant la mesure à l’ordre 1
et 2, puis calcule la longueur d’une ellipse dont l’orientation est aléatoirement
choisie pour éviter les effets de grille. L’erreur moyenne commise est alors
enregistrée. Le tableau 1.5.3 met en evidence que la renormalisation se situe,
du point de vue de la précision, au même niveau que la première approximation
proposée par l’auteur, et constitue donc, au vu de sa simplicité, une solution
efficace pour approcher une mesure de surface dans la méthode Level Set.
Une étude complète de l’approximation des fonctions de Dirac a été menée
dans [55].
Pas de
Smereka 1
Renormalisation
Smereka 2
discrétisation Erreur Rel. Ordre Erreur Rel.
Ordre Erreur Rel. Ordre
0.2
9 .38 × 10 −3
1.5 × 10 −1
2.68 × 10 −3
0.1
2 .23 × 10 −3 2.07 5 × 10 −3
5.49 × 10 −4 2.29
0.05
8.12 × 10 −4 1.46 1.3 × 10 −3
1.9
1.32 × 10 −4 2.05
0.025
2.71 × 10 −4 1.58 3 × 10 −4
2.1
2.90 × 10 −5 2.18
0.0125
7.58 × 10 −5 1.83 8 × 10 −5
1.9
7.79 × 10 −6 1.90
0.00625
3.04 × 10 −5 1.32 2 × 10 −5
2
1.84 × 10 −6 2.08
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dans ce cas spécifique, utilisant 1000 marqueurs pour l’interface. Dans le cadre
eulérien, les équations de transport sont résolues par un schéma WENO5 sur
un maillage structuré de tailles 256 × 256 ou 512 × 512. On peut constater
que dans les parties fines du filament, ceux-ci sont mieux traités par la
méthode de redistanciation, ce qu’on peut attribuer au fait que les erreurs de
discrétisation dans la solution de l’équation de transport sont importantes
lorsque ϕ est très raide. Par contre dans les zones mieux résolues, on constate
aussi que l’équation de re-distanciation occasionne un déplacement artificiel
de l’interface.
Pour tester la capacité des différentes méthodes ci-dessus à permettre
un calcul correct des forces, nous reprenons le même champ de vitesse et
calculons la longueur du filament au temps au cours du temps. Ce calcul de
longueur représente ici un prototype de force surfacique qu’il s’agit de bien
calculer. Dans la figure 1.6, la courbe supérieure, qui montre une croissance
quasi linéaire de la longueur, est la courbe de référence obtenue comme
précédemment en suivant un grand nombre de marqueurs. Les courbes solides
sont obtenues par une méthode de renormalisation et les courbes en pointillés
par redistanciation. Les tests sont menés avec 64, 128 et 256 points. On
observe qu’à faible résolution la méthode de redistanciation finit par faire
totalement disparaitre le filament. A plus haute résolution les méthodes de
redistanciation et de renormalisation donnent des résultats comparables. La
méthode de renormalisation apparaît donc comme une méthode permettant
un calcul correct des forces, même en cas de fort étirement, sans affecter
l’équation de transport sur la fonction Level Set.
Un exemple complémentaire illustrant le comportement de la méthode
de renormalisation repose sur le test proposé par [130] pour introduire une
nouvelle manière d’approcher la mesure de Dirac. Dans cet article l’auteur
construit deux fonctions de Dirac discrètes approchant la mesure à l’ordre 1
et 2, puis calcule la longueur d’une ellipse dont l’orientation est aléatoirement
choisie pour éviter les effets de grille. L’erreur moyenne commise est alors
enregistrée. Le tableau 1.5.3 met en evidence que la renormalisation se situe,
du point de vue de la précision, au même niveau que la première approximation
proposée par l’auteur, et constitue donc, au vu de sa simplicité, une solution
efficace pour approcher une mesure de surface dans la méthode Level Set.
Une étude complète de l’approximation des fonctions de Dirac a été menée
dans [55].
Pas de
Smereka 1
Renormalisation
Smereka 2
discrétisation Erreur Rel. Ordre Erreur Rel.
Ordre Erreur Rel. Ordre
0.2
9 .38 × 10 −3
1.5 × 10 −1
2.68 × 10 −3
0.1
2 .23 × 10 −3 2.07 5 × 10 −3
5.49 × 10 −4 2.29
0.05
8.12 × 10 −4 1.46 1.3 × 10 −3
1.9
1.32 × 10 −4 2.05
0.025
2.71 × 10 −4 1.58 3 × 10 −4
2.1
2.90 × 10 −5 2.18
0.0125
7.58 × 10 −5 1.83 8 × 10 −5
1.9
7.79 × 10 −6 1.90
0.00625
3.04 × 10 −5 1.32 2 × 10 −5
2
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