1.5 Aspects numériques I : consistance et précision
23
On a ainsi un moyen simple d’estimer la distance d’un point x suffisamment
voisin de {ϕ = 0} à cette courbe, en divisant la valeur de ϕ par la norme de
son gradient. La fonction ψ(x) =
ϕ
|∇ϕ| (x) est, à l’ordre un en ϕ, de gradient
unitaire. D’autre part sa ligne de niveau zéro coïncide avec celle de ϕ. D’après
la proposition 1.10, on a donc
1
ε
ζ
ψ
ε
|∇ψ| δ {ψ=0} = δ {ϕ=0} dans M(R
d
).
Or |∇ψ| = 1 + O(ϕ) ce qui justifie l’approximation de δ {ϕ=0} par
1
ε
ζ
ϕ
ε|∇ϕ|
.
Au premier ordre en ϕ, cette expression représente une approximation de la
masse de Dirac dont le support reste de largeur 2ε. Par rapport à la méthode
d’origine, la méthode qui en résulte consiste finalement à remplacer en chaque
point x le paramètre ε par des valeurs locales ε|∇ϕ|(x).
L’intérêt de cette méthode est qu’elle peut s’interpréter comme un postprocessing de ϕ qui n’affecte pas le déplacement de ϕ. Son inconvénient est
qu’elle ajoute la singularité de ∇ϕ dans le cut-off et que des points où |∇ϕ|
est petit peuvent causer des soucis numériques dans l’évaluation des forces.
Une étude fine de ce type d’approximation a été menée par Tornberg,
Enquist et Tsai [55], qui a permis de déterminer un choix optimal local du
paramètre ε. Celui-ci consiste à utiliser la norme 1 du vecteur et à remplacer
ε en chaque point par
ε(x) = |∇ϕ(x)| 1 ε 0 ,
où ε 0 est fixé et |∇ϕ(x)| 1 = |∂ x 1 ϕ(x)| + |∂ x 2 ϕ(x)| + |∂ x 3 ϕ(x)|. Par ailleurs, les
auteurs recommandent l’utilisation de la fonction chapeau comme approximation de la mesure de Dirac, parce qu’elle vérifie une condition de moment
discret d’ordre deux.
1.5.3 Comparaison des deux approches
On a évoqué plus haut les avantages et inconvénients des approches par
redistanciation. Un intérêt supplémentaire de ces méthodes, non visé au départ,
est que du fait que les gradients de ϕ sont ramenés proches de 1 autour de
l’interface, les variations de ϕ sont limitées ce qui peut avoir pour effet de
réduire les erreurs numériques dans le traitement de l’équation de transport
de ϕ (et ceci indépendamment de la méthode de discrétisation numérique
utilisée pour résoudre cette équation).
La figure 1.5 illustre à la fois cet effet ainsi que l’inconvénient, déjà mentionné, que la discrétisation de l’équation (1.36) peut conduire à un dépla-
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On a ainsi un moyen simple d’estimer la distance d’un point x suffisamment
voisin de {ϕ = 0} à cette courbe, en divisant la valeur de ϕ par la norme de
son gradient. La fonction ψ(x) =
ϕ
|∇ϕ| (x) est, à l’ordre un en ϕ, de gradient
unitaire. D’autre part sa ligne de niveau zéro coïncide avec celle de ϕ. D’après
la proposition 1.10, on a donc
1
ε
ζ
ψ
ε
|∇ψ| δ {ψ=0} = δ {ϕ=0} dans M(R
d
).
Or |∇ψ| = 1 + O(ϕ) ce qui justifie l’approximation de δ {ϕ=0} par
1
ε
ζ
ϕ
ε|∇ϕ|
.
Au premier ordre en ϕ, cette expression représente une approximation de la
masse de Dirac dont le support reste de largeur 2ε. Par rapport à la méthode
d’origine, la méthode qui en résulte consiste finalement à remplacer en chaque
point x le paramètre ε par des valeurs locales ε|∇ϕ|(x).
L’intérêt de cette méthode est qu’elle peut s’interpréter comme un postprocessing de ϕ qui n’affecte pas le déplacement de ϕ. Son inconvénient est
qu’elle ajoute la singularité de ∇ϕ dans le cut-off et que des points où |∇ϕ|
est petit peuvent causer des soucis numériques dans l’évaluation des forces.
Une étude fine de ce type d’approximation a été menée par Tornberg,
Enquist et Tsai [55], qui a permis de déterminer un choix optimal local du
paramètre ε. Celui-ci consiste à utiliser la norme 1 du vecteur et à remplacer
ε en chaque point par
ε(x) = |∇ϕ(x)| 1 ε 0 ,
où ε 0 est fixé et |∇ϕ(x)| 1 = |∂ x 1 ϕ(x)| + |∂ x 2 ϕ(x)| + |∂ x 3 ϕ(x)|. Par ailleurs, les
auteurs recommandent l’utilisation de la fonction chapeau comme approximation de la mesure de Dirac, parce qu’elle vérifie une condition de moment
discret d’ordre deux.
1.5.3 Comparaison des deux approches
On a évoqué plus haut les avantages et inconvénients des approches par
redistanciation. Un intérêt supplémentaire de ces méthodes, non visé au départ,
est que du fait que les gradients de ϕ sont ramenés proches de 1 autour de
l’interface, les variations de ϕ sont limitées ce qui peut avoir pour effet de
réduire les erreurs numériques dans le traitement de l’équation de transport
de ϕ (et ceci indépendamment de la méthode de discrétisation numérique
utilisée pour résoudre cette équation).
La figure 1.5 illustre à la fois cet effet ainsi que l’inconvénient, déjà mentionné, que la discrétisation de l’équation (1.36) peut conduire à un dépla-