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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
comme la solution de
∂ t ϕ(x, t) + (u · ∇ϕ)(x − ϕ∇ϕ(x),t)) = 0.
Ceci qui revient, sur l’interface, à l’équation de transport, dont la solution est
toujours une fonction distance si la fonction initiale l’est. Malheureusement
cette équation est non locale et délicate à utiliser numériquement.
Dans toutes ces techniques, un inconvénient est qu’elles nous privent d’informations sur les gradients de la fonction Level Set advectée par l’écoulement,
informations qui, nous le verrons plus loin, sont cruciales pour le traitement
de l’interaction fluide-structure par méthodes Level Set.
1.5.2 Renormalisation de ϕ
Cette méthode part de la constatation suivante : si d(x, t) désigne la
distance signée à la courbe {ϕ = 0}, la quantité
ϕ
|∇ϕ| approche d au voisinage
de l’interface.
En effet comme on l’a mentionné dans la proposition 1.4, pour d(x) assez
petit, le point x − d(x)∇d(x) est sur cette surface, donc ϕ(x − d(x)∇d) = 0.
En effectuant un développement au voisinage de d(x) = 0 on a
ϕ(x) − d(x)∇ϕ · ∇d(x) + O(d(x)
2
) = 0.
On a d’autre part
∇d(x) = (∇d)(x − d(x)∇d) + d(x)[∇
2 d]∇d + O(d(x)
2
),
et
(∇d)(x − d(x)∇d) =
∇ϕ
|∇ϕ|
(x − d(x)∇d)
=
∇ϕ
|∇ϕ|
(x) − d(x)
∇
∇ϕ
|∇ϕ|
∇d + O(d(x)
2
). (1.38)
Donc
∇d(x) =
∇ϕ
|∇ϕ|
(x) + d(x)
[∇
2 d] −
∇
∇ϕ
|∇ϕ|
∇d + O(d(x)
2
),
et finalement
ϕ(x) − d(x)|∇ϕ|(x) + O(d(x)
2
) = 0,
soit encore
d(x) ≈
ϕ
|∇ϕ|
(x).