1.5 Aspects numériques I : consistance et précision
19
Fig. 1.4: Fusion de 2 bulles de densités différentes, à deux instants successifs
(t = 0.2 pour les figures du haut et t = 0.4 pour les figures du bas). Avec
(figures de droite) ou sans (figures de gauche) tension superificielle. Les lignes
de niveau en couleur représentent les niveaux de vorticité. Voir le texte pour
les paramètres de ces expériences.
1.5 Aspects numériques I : consistance et précision
Comme on l’a vu plus haut, les méthodes Level Set reposent tout d’abord sur
la convergence de l’approximation d’une masse de Dirac mono-dimensionnelle
par une fonction cut-off, convergence qui elle même découle de la propriété
(1.26) en dimension un. Si on reprend la démonstration de cette propriété en
supposant que ϕ(x) = rx pour une constante donnée r on trouve
1
ε
ζ
rx
ε
ψ(x) dx − ψ(0)
≤
1
ε
ζ
rx
ε
|ψ(x) − ψ(0)| dx
≤
|x|
ε
ζ
rx
ε
dx |ψ| 1,∞ ≤ m 1
ε
r
|ψ| 1,∞ ,
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Fig. 1.4: Fusion de 2 bulles de densités différentes, à deux instants successifs
(t = 0.2 pour les figures du haut et t = 0.4 pour les figures du bas). Avec
(figures de droite) ou sans (figures de gauche) tension superificielle. Les lignes
de niveau en couleur représentent les niveaux de vorticité. Voir le texte pour
les paramètres de ces expériences.
1.5 Aspects numériques I : consistance et précision
Comme on l’a vu plus haut, les méthodes Level Set reposent tout d’abord sur
la convergence de l’approximation d’une masse de Dirac mono-dimensionnelle
par une fonction cut-off, convergence qui elle même découle de la propriété
(1.26) en dimension un. Si on reprend la démonstration de cette propriété en
supposant que ϕ(x) = rx pour une constante donnée r on trouve
1
ε
ζ
rx
ε
ψ(x) dx − ψ(0)
≤
1
ε
ζ
rx
ε
|ψ(x) − ψ(0)| dx
≤
|x|
ε
ζ
rx
ε
dx |ψ| 1,∞ ≤ m 1
ε
r
|ψ| 1,∞ ,