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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
où m 1 =
|xζ(x)| dx. Sachant que dans cet exemple r = ϕ (0) on peut en
déduire que l’approximation des forces en utilisant une fonction Level Set
aura une précision d’ordre
O
ε
inf {ϕ=0} |∇ϕ|
.
Ce qu’on vient de dire suppose un calcul exact des intégrales. En pratique ces
intégrales doivent être évaluées par des méthodes de quadrature. En supposant
ces quadratures effectuées par exemple par la méthode du point milieu, sur
une grille de noeuds x j , avec j ∈ [0,N] d où d est la dimension de l’espace, de
pas uniforme Δx, l’erreur produite sur l’évaluation d’une force de la forme
(1.32) peut s’écrire avec une estimation à l’ordre 1
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dx −
j
1
ε
ζ
ϕ(x j )
ε
ψ(x j )
≤ CΔx
1
ε
ζ
ϕ
ε
1,1
|ϕ| 1,∞
≤ C
Δx
ε
|ϕ| 1,∞ .
Au vu de ce qui précède, la convergence interviendra si, d’une part les conditions de convergence s’écrivent
ε inf
ϕ=0
|∇ϕ|,
et, d’autre part,
Δx ε/|ϕ| 1,∞ .
Une estimation à l’ordre 2 de l’erreur de quadrature conduit à des conclusions similaires. On en déduit qu’une condition naturelle pour que la convergence ne nécessite pas des valeurs trop petites des paramètres ε et Δx est que
le rapport
inf ϕ=0 |∇ϕ|
|ϕ| 1,∞
soit aussi proche de 1 que possible. Le cas idéal est que, au moins dans un
voisinage de taille ε de Σ = {ϕ = 0}, |∇ϕ| = 1 (ou une autre constante), ce
qui est le cas si ϕ est la distance signée à Σ (voir proposition 1.4).
S’il est possible d’initialiser la valeur initiale de ϕ à une telle valeur, il
n’est évidemment pas possible de garantir la propriété |∇ϕ| | 1 pour t > 0.
Pour y remédier, deux approches sont possibles : recaler à chaque instant ϕ à
une fonction qui a cette propriété, sans altérer l’iso-surface {ϕ = 0}, ou bien
renormaliser ϕ dans l’expression des forces.
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
où m 1 =
|xζ(x)| dx. Sachant que dans cet exemple r = ϕ (0) on peut en
déduire que l’approximation des forces en utilisant une fonction Level Set
aura une précision d’ordre
O
ε
inf {ϕ=0} |∇ϕ|
.
Ce qu’on vient de dire suppose un calcul exact des intégrales. En pratique ces
intégrales doivent être évaluées par des méthodes de quadrature. En supposant
ces quadratures effectuées par exemple par la méthode du point milieu, sur
une grille de noeuds x j , avec j ∈ [0,N] d où d est la dimension de l’espace, de
pas uniforme Δx, l’erreur produite sur l’évaluation d’une force de la forme
(1.32) peut s’écrire avec une estimation à l’ordre 1
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dx −
j
1
ε
ζ
ϕ(x j )
ε
ψ(x j )
≤ CΔx
1
ε
ζ
ϕ
ε
1,1
|ϕ| 1,∞
≤ C
Δx
ε
|ϕ| 1,∞ .
Au vu de ce qui précède, la convergence interviendra si, d’une part les conditions de convergence s’écrivent
ε inf
ϕ=0
|∇ϕ|,
et, d’autre part,
Δx ε/|ϕ| 1,∞ .
Une estimation à l’ordre 2 de l’erreur de quadrature conduit à des conclusions similaires. On en déduit qu’une condition naturelle pour que la convergence ne nécessite pas des valeurs trop petites des paramètres ε et Δx est que
le rapport
inf ϕ=0 |∇ϕ|
|ϕ| 1,∞
soit aussi proche de 1 que possible. Le cas idéal est que, au moins dans un
voisinage de taille ε de Σ = {ϕ = 0}, |∇ϕ| = 1 (ou une autre constante), ce
qui est le cas si ϕ est la distance signée à Σ (voir proposition 1.4).
S’il est possible d’initialiser la valeur initiale de ϕ à une telle valeur, il
n’est évidemment pas possible de garantir la propriété |∇ϕ| | 1 pour t > 0.
Pour y remédier, deux approches sont possibles : recaler à chaque instant ϕ à
une fonction qui a cette propriété, sans altérer l’iso-surface {ϕ = 0}, ou bien
renormaliser ϕ dans l’expression des forces.