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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
où on a noté U la fonction qui vaut div(2μD(u)) dans Ω 1 et dans Ω 2 . On
peut donc prolonger les équations de Navier-Stokes à Ω en le système suivant
ρ(∂ t u + u · ∇u) + ∇p − div(2μD(u)) = ρλHδ Σ n,
div u = 0.
Par suite de la proposition 1.10, la formulation Level Set de ce problème
consiste à résoudre dans Ω le système
ρ(∂ t u + u · ∇u) + ∇p − div(2μD(u)) = ρ(ϕ) λH(∇ϕ)
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ (1.32)
div u = 0,
(1.33)
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0,
(1.34)
où on rappelle que H est une fonction de ∇ϕ donnée par
H = divn, avec n = ∇ϕ/|∇ϕ|.
Ce système doit être complété par des conditions aux limites, soit, dans
le cadre qu’on s’est fixé, u = 0 sur ∂Ω, et des conditions initiales u(x, 0) =
u 0 (x),ϕ(x, 0) = ϕ 0 (x). A noter qu’avec cette condition au bord sur la vitesse,
il n’est pas nécessaire d’écrire de condition aux limites spatiales pour ϕ dans
l’équation de transport.
La figure 1.4 montre le transport sous l’effet de la gravité de 2 bulles
de densités différentes et leur fusion, avec l’effet régularisant de la tension
superficielle sur la forme de l’interface. Cette figure illustre à nouveau le fait
que les méthodes Level Set, au contraire des méthodes de suivi d’interface, ne
sont pas contraintes par la topologie et permettent la fusion d’objets. Dans
cette expérience, reprise de [30], le coefficient de gravité est pris égal à 1, le
contraste de densité entre les 2 bulles, initialement circulaires, est égal à 10
(la bulle la plus légère est la plus basse). Les diamètres des bulles sont 0.2 et
0.3. Le coefficient de tension superficielle pour l’expérience de droite est égal
à 0.02. Comme dans [30], les équations de Navier-Stokes sont résolues dans
l’approximation de Boussinesq avec une grille de pas h = 1/256.
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
où on a noté U la fonction qui vaut div(2μD(u)) dans Ω 1 et dans Ω 2 . On
peut donc prolonger les équations de Navier-Stokes à Ω en le système suivant
ρ(∂ t u + u · ∇u) + ∇p − div(2μD(u)) = ρλHδ Σ n,
div u = 0.
Par suite de la proposition 1.10, la formulation Level Set de ce problème
consiste à résoudre dans Ω le système
ρ(∂ t u + u · ∇u) + ∇p − div(2μD(u)) = ρ(ϕ) λH(∇ϕ)
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ (1.32)
div u = 0,
(1.33)
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0,
(1.34)
où on rappelle que H est une fonction de ∇ϕ donnée par
H = divn, avec n = ∇ϕ/|∇ϕ|.
Ce système doit être complété par des conditions aux limites, soit, dans
le cadre qu’on s’est fixé, u = 0 sur ∂Ω, et des conditions initiales u(x, 0) =
u 0 (x),ϕ(x, 0) = ϕ 0 (x). A noter qu’avec cette condition au bord sur la vitesse,
il n’est pas nécessaire d’écrire de condition aux limites spatiales pour ϕ dans
l’équation de transport.
La figure 1.4 montre le transport sous l’effet de la gravité de 2 bulles
de densités différentes et leur fusion, avec l’effet régularisant de la tension
superficielle sur la forme de l’interface. Cette figure illustre à nouveau le fait
que les méthodes Level Set, au contraire des méthodes de suivi d’interface, ne
sont pas contraintes par la topologie et permettent la fusion d’objets. Dans
cette expérience, reprise de [30], le coefficient de gravité est pris égal à 1, le
contraste de densité entre les 2 bulles, initialement circulaires, est égal à 10
(la bulle la plus légère est la plus basse). Les diamètres des bulles sont 0.2 et
0.3. Le coefficient de tension superficielle pour l’expérience de droite est égal
à 0.02. Comme dans [30], les équations de Navier-Stokes sont résolues dans
l’approximation de Boussinesq avec une grille de pas h = 1/256.