7.4 Schémas WENO pour l’équation de transport
183
(∂ x ϕ + ) i =
ϕ i+1 −ϕ i
Δx
et on écrit (en omettant l’exposant n)
(ϕ x ) i ≈
(∂ x ϕ − ) i si u i > 0,
(∂ x ϕ + ) i si u i < 0.
(7.53)
sachant que la valeur choisie pour u i = 0 n’a pas d’importance dans (7.52).
Ce schéma est stable sous la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)
Δt <
Δx
max |u|
.
(7.54)
Le schéma WENO que nous considérons est d’ordre 5 utilise les valeurs
{ϕ i−3 ,ϕ i−2 ,ϕ i−1 ,ϕ i ,ϕ i+1 ,ϕ i+2 }
pour déterminer une approximation de (∂ x ϕ − ) i et
{ϕ i−2 ,ϕ i−1 ,ϕ i ,ϕ i+1 ,ϕ i+2 ,ϕ i+3 }
pour (∂ x ϕ + ) i ). Posons
v 1 =
ϕ i−2 − ϕ i−3
Δx
, v 2 =
ϕ i−1 − ϕ i−2
Δx
, v 3 =
ϕ i − ϕ i−1
Δx
,
v 4 =
ϕ i+1 − ϕ i
Δx
, v 5 =
ϕ i+2 − ϕ i+1
Δx
.
∂ x ϕ
1
=
v 1
3
−
7v 2
6
+
11v 3
6
, ∂ x ϕ
2
= −
v 2
6
+
5v 3
6
+
v 4
3
, ∂ x ϕ
3
=
v 3
3
+
5v 4
6
−
v 5
6
,
sont des approximations à l’ordre trois de ∂ x ϕ − . Un schéma ENO d’ordre 3
choisirait la meilleure de ces approximations au moyen d’un critère minimisant
les différences divisées d’ordre trois de ϕ. Ce faisant, on obtient un schéma
d’ordre trois. Il a été remarqué ensuite qu’en prenant plutôt une combinaison
convexe optimale des trois quantités ci-dessus pour approcher ∂ x ϕ − , on
pouvait atteindre l’ordre 5 dans les régions où ϕ est régulière. On prend donc
(∂ x ϕ
−
) i ≈ ω 1 ∂ x ϕ
1
+ ω 2 ∂ x ϕ
2
+ ω 3 ∂ x ϕ
3 ,
où 0 ≤ ω k ≤ 1 sont des poids tels que ω 1 + ω 2 + ω 3 = 1. Dans les régions où ϕ
est régulière, le choix optimal est ω 1 = 0.1, ω 2 = 0.6 et ω 3 = 0.3, mais ce choix
peut s’avérer catastrophique lorsque ϕ est moins régulière. Dans ce cas un
schéma ENO serait meilleur (i.e. un ω k égal à 1 et les autres nuls). Finalement
les travaux sur ces schémas conduisent à déterminer les poids ω k grâce à des
indicateurs de régularité de la solution numérique. On pose
183
(∂ x ϕ + ) i =
ϕ i+1 −ϕ i
Δx
et on écrit (en omettant l’exposant n)
(ϕ x ) i ≈
(∂ x ϕ − ) i si u i > 0,
(∂ x ϕ + ) i si u i < 0.
(7.53)
sachant que la valeur choisie pour u i = 0 n’a pas d’importance dans (7.52).
Ce schéma est stable sous la condition de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)
Δt <
Δx
max |u|
.
(7.54)
Le schéma WENO que nous considérons est d’ordre 5 utilise les valeurs
{ϕ i−3 ,ϕ i−2 ,ϕ i−1 ,ϕ i ,ϕ i+1 ,ϕ i+2 }
pour déterminer une approximation de (∂ x ϕ − ) i et
{ϕ i−2 ,ϕ i−1 ,ϕ i ,ϕ i+1 ,ϕ i+2 ,ϕ i+3 }
pour (∂ x ϕ + ) i ). Posons
v 1 =
ϕ i−2 − ϕ i−3
Δx
, v 2 =
ϕ i−1 − ϕ i−2
Δx
, v 3 =
ϕ i − ϕ i−1
Δx
,
v 4 =
ϕ i+1 − ϕ i
Δx
, v 5 =
ϕ i+2 − ϕ i+1
Δx
.
∂ x ϕ
1
=
v 1
3
−
7v 2
6
+
11v 3
6
, ∂ x ϕ
2
= −
v 2
6
+
5v 3
6
+
v 4
3
, ∂ x ϕ
3
=
v 3
3
+
5v 4
6
−
v 5
6
,
sont des approximations à l’ordre trois de ∂ x ϕ − . Un schéma ENO d’ordre 3
choisirait la meilleure de ces approximations au moyen d’un critère minimisant
les différences divisées d’ordre trois de ϕ. Ce faisant, on obtient un schéma
d’ordre trois. Il a été remarqué ensuite qu’en prenant plutôt une combinaison
convexe optimale des trois quantités ci-dessus pour approcher ∂ x ϕ − , on
pouvait atteindre l’ordre 5 dans les régions où ϕ est régulière. On prend donc
(∂ x ϕ
−
) i ≈ ω 1 ∂ x ϕ
1
+ ω 2 ∂ x ϕ
2
+ ω 3 ∂ x ϕ
3 ,
où 0 ≤ ω k ≤ 1 sont des poids tels que ω 1 + ω 2 + ω 3 = 1. Dans les régions où ϕ
est régulière, le choix optimal est ω 1 = 0.1, ω 2 = 0.6 et ω 3 = 0.3, mais ce choix
peut s’avérer catastrophique lorsque ϕ est moins régulière. Dans ce cas un
schéma ENO serait meilleur (i.e. un ω k égal à 1 et les autres nuls). Finalement
les travaux sur ces schémas conduisent à déterminer les poids ω k grâce à des
indicateurs de régularité de la solution numérique. On pose