182
7 Annexe
F 3 = ((∇
E
3 (Z 3 )J
· τ )τ + E
3 (Z 3 )JHn)Z 3 J
−1 1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
. (7.50)
Il est intéressant de noter que la force se décompose uniquement dans la base
(τ, n) et qu’il n’y a donc de composante suivant le vecteur binormal b. De plus
cette décomposition est similaire à (3.18) obtenue pour les surfaces.
7.4 Schémas WENO pour l’équation de transport
Le coeur des méthodes présentées dans ce livre réside dans une équation
de transport d’une fonction (éventuellement vectorielle) Level Set qui va
enregistrer les déformations du milieu lors de son déplacement par un champ
de vitesse calculé par ailleurs. Il est donc important de résoudre numériquement
cette équation de manière précise sur des grilles cartésiennes (ou qui peuvent
s’y ramener par changements de variables) englobant les systèmes fluide-solides
considérés.
On se concentre ici sur les méthodes de différences finies qui sont le
plus couramment utilisées. De nombreux schémas numériques existent pour
l’équation de transport : le schéma amont est le plus classique, mais se révèle
souvent trop diffusif. Le schéma de Lax-Wendroff est d’une part compliqué
à écrire en dimension deux et d’autre part se comporte assez mal pour une
solution irrégulière. La méthode des caractéristiques souffre du même défaut
du fait de l’interpolation qui l’accompagne.
Au milieu des années 80 des schémas non linéaires généralisant le schéma
amont ont été introduits par Harten, Engquist, Osher et Chakravarthy [84].
Ces schémas prennent en compte la régularité locale de la solution numérique
pour déterminer sur quels points les différences finies doivent être calculées : il
s’agit des schémas ENO (Essentially Non Oscillatory). Par la suite, les schémas
WENO (Weighted Essentially Non Oscillatory), qui consistent à prendre une
combinaison optimale des stencils de discrétisation, ont été introduits [91, 129]
puis développés sous de nombreuses variantes [127, 29, 3].
Pour comprendre comment ils fonctionnent, plaçons-nous en dimension
une, en considérant l’équation de transport semi-dicrétisée
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
+ u
n ∂ x ϕ
n
= 0.
(7.51)
Au noeud i d’une discrétisation de l’intervalle d’étude, l’équation est donc
ϕ
n+1
i
− ϕ n
i
Δt
+ u
n
i (∂ x ϕ)
n
i = 0.
(7.52)
Le schéma amont consiste simplement à approcher la dérivée en x de ϕ au
noeud i en tenant compte du signe de u i . On pose (∂ x ϕ − ) i =
ϕ i −ϕ i−1
Δx
et
7 Annexe
F 3 = ((∇
E
3 (Z 3 )J
· τ )τ + E
3 (Z 3 )JHn)Z 3 J
−1 1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
. (7.50)
Il est intéressant de noter que la force se décompose uniquement dans la base
(τ, n) et qu’il n’y a donc de composante suivant le vecteur binormal b. De plus
cette décomposition est similaire à (3.18) obtenue pour les surfaces.
7.4 Schémas WENO pour l’équation de transport
Le coeur des méthodes présentées dans ce livre réside dans une équation
de transport d’une fonction (éventuellement vectorielle) Level Set qui va
enregistrer les déformations du milieu lors de son déplacement par un champ
de vitesse calculé par ailleurs. Il est donc important de résoudre numériquement
cette équation de manière précise sur des grilles cartésiennes (ou qui peuvent
s’y ramener par changements de variables) englobant les systèmes fluide-solides
considérés.
On se concentre ici sur les méthodes de différences finies qui sont le
plus couramment utilisées. De nombreux schémas numériques existent pour
l’équation de transport : le schéma amont est le plus classique, mais se révèle
souvent trop diffusif. Le schéma de Lax-Wendroff est d’une part compliqué
à écrire en dimension deux et d’autre part se comporte assez mal pour une
solution irrégulière. La méthode des caractéristiques souffre du même défaut
du fait de l’interpolation qui l’accompagne.
Au milieu des années 80 des schémas non linéaires généralisant le schéma
amont ont été introduits par Harten, Engquist, Osher et Chakravarthy [84].
Ces schémas prennent en compte la régularité locale de la solution numérique
pour déterminer sur quels points les différences finies doivent être calculées : il
s’agit des schémas ENO (Essentially Non Oscillatory). Par la suite, les schémas
WENO (Weighted Essentially Non Oscillatory), qui consistent à prendre une
combinaison optimale des stencils de discrétisation, ont été introduits [91, 129]
puis développés sous de nombreuses variantes [127, 29, 3].
Pour comprendre comment ils fonctionnent, plaçons-nous en dimension
une, en considérant l’équation de transport semi-dicrétisée
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
+ u
n ∂ x ϕ
n
= 0.
(7.51)
Au noeud i d’une discrétisation de l’intervalle d’étude, l’équation est donc
ϕ
n+1
i
− ϕ n
i
Δt
+ u
n
i (∂ x ϕ)
n
i = 0.
(7.52)
Le schéma amont consiste simplement à approcher la dérivée en x de ϕ au
noeud i en tenant compte du signe de u i . On pose (∂ x ϕ − ) i =
ϕ i −ϕ i−1
Δx
et