7.3 Justification des résultats utilisés pour les courbes paramétrées dans R
3
181
∂ t E 3 = −
Ω
u · ∇(E 3 (Z 3 ))
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
+ div
E
3 (Z 3 )Z 3 C 3
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
· u
+ E 3 (Z 3 )u · ∇
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx.
En regroupant le premier et le dernier terme et en utilisant (7.46) on obtient
le résultat souhaité.
La proposition suivante permet de décomposer cette force suivant ses
composantes normales et tangentielles.
Proposition 7.14. La force F 3 définie par (7.47) peut se réécrire, à un
gradient près, sous la forme
F 3 = ((∇
E
3 (Z 3 )J
· τ )τ + E
3 (Z 3 )JHn)Z 3 J
−1 1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
.
(7.48)
Preuve. En développant la divergence dans l’expression (7.47) et en utilisant le fait que (τ ⊗ τ )∇ϕ i = 0 d’après (7.36) on obtient que la force s’écrit
A
1
ε 2 ζ
ϕ
1
ε
ζ
ϕ
2
ε
avec A = div(E
3 (Z 3 )Z 3 τ ⊗ τ ). En développant A et en
utilisant (1.19), on obtient
A = E
3 (Z 3 )Z 3 (Hn + τ div(τ )) + (∇(E
3 (Z 3 ) Z 3 ) · τ )τ.
En écrivant le dernier terme comme div(E
3 (Z 3 )Z 3 τ )τ − E
3 (Z 3 )Z 3 div(τ )τ ,
deux termes se simplifient et il reste
A = E
3 (Z 3 )Z 3 Hn + div(E
3 (Z 3 )Z 3 τ )τ.
Pour simplifier les calculs, on suppose dans la suite que la courbe est au repos
initialement donc |∇ϕ 1
0 × ∇ϕ 2
0 | = 1. Le deuxième terme se réécrit
div(E
3 (Z 3 )JZ 3 J
−1 τ ) = E
3 (Z 3 )J div(Z 3 J
−1 τ ) + ∇(E
3 (Z 3 )J) · τ Z 3 J
−1 .
Le premier terme est nul car d’après (7.37) et (7.36) on a
div(Z 3 J
−1 τ ) = div(∇ϕ
1
× ∇ϕ
2
) = −∇ϕ
1
· ∇ × (∇ϕ
2
) + ∇ϕ
2
· ∇ × (∇ϕ
1
) = 0.
(7.49)
Il reste finalement, en omettant le terme en gradient,