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7 Annexe
Proposition 7.13. Le principe des travaux virtuels permet d’écrire la
variation temporelle de E 3 comme
∂ t E 3 = −
Ω
F 3 · udx
(7.46)
et conduit à l’expression suivante de la force :
F 3 = ∇
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
+ div
E
3 (Z 3 )Z 3 C 3
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
, (7.47)
avec C 3 = τ ⊗ τ .
Preuve. En dérivant par rapport à t on peut écrire
∂ t E 3 =
Ω
E
3 (Z 3 )∂ t (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx
+
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
∂ t ϕ
1 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx
+
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε
ζ
ϕ 1
ε
1
ε 2 ζ
ϕ 2
ε
∂ t ϕ
2 dx.
En utilisant les équations de transport sur ϕ 1 et ϕ 2 ainsi que la relation (7.26)
de la proposition 7.5 on obtient
∂ t E 3 =
Ω
E
3 (Z 3 )(−u · ∇Z 3 + [∇u] : Z 3 C 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx
+
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
(−u · ∇ϕ
1
)
1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx
+
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε
ζ
ϕ 1
ε
1
ε 2 ζ
ϕ 2
ε
(−u · ∇ϕ
2
) dx.
En intégrant le deuxième terme par parties (l’intégrale sur ∂Ω s’annule car
ζ(
ϕ
i
ε ) = 0 sur ∂Ω)