7.3 Justification des résultats utilisés pour les courbes paramétrées dans R
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Proposition 7.12. Soit r → ζ(r) une fonction continue à support dans
[−1, 1], telle que
ζ(r) dr = 1 et ϕ 1 ,ϕ 2 deux fonctions de classe C 2 de
R 3 dans R telles que |∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 (x)| > 0 pour tout x dans un voisinage
de {ϕ 1 = 0} ∩ {ϕ 2 = 0}. Alors
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
|∇ϕ
1
× ∇ϕ
2
|
ε→0
δ {ϕ 1 =0}∩{ϕ 2 =0}
(7.42)
dans l’espace des mesures.
Preuve. Sous les hypothèses faites pour ζ, on a pour toute fonction continue
g : R 2 −→ R par simple changement de variable et convergence dominée
R 2
1
ε 2 ζ
r 1
ε
ζ
r 2
ε
g(r 1 ,r 2 ) dr 1 dr 2 −→
ε−→0
g(0, 0).
(7.43)
Cette propriété exprime la convergence faible vers la masse de Dirac
bidimensionnelle au point (0, 0). En appliquant la formule précédente à
g(r 1 ,r 2 ) =
{ϕ 1 =r 1 }∩{ϕ 2 =r 2 } f (x) dl et en utilisant la formule de la co-aire
(7.41) de la proposition 7.11, on obtient
R 2
{ϕ 1 =r 1 }∩{ϕ 2 =r 2 }
f (x)
1
ε 2 ζ
ϕ 1 (x)
ε
ζ
ϕ 2 (x)
ε
dldr 1 dr 2
=
R 3
f (x)|∇ϕ
1
(x) × ∇ϕ
2
(x)|
1
ε 2 ζ
ϕ 1 (x)
ε
ζ
ϕ 2 (x)
ε
dx
−→
ε−→0
{ϕ 1 =0}∩{ϕ 2 =0}
f (x) dl. (7.44)
La proposition est donc démontrée.
Rappelons que l’évolution de la courbe élastique est capturée par deux
fonctions Level Set ϕ 1 ,ϕ 2 qui sont transportées par le champ de vitesses u. De
plus, l’invariant Z 3 mesure la variation locale de longueur de la courbe d’après
la proposition 7.6 et s’exprime à l’aide du gradient de ces fonctions Level Set
d’après la proposition 7.7. On introduit à présent l’énergie régularisée
E 3 =
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx.
(7.45)
où E 3 est la loi de comportement associée à l’invariant Z 3 . La force associée
à cette énergie est donnée par la proposition suivante :
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Proposition 7.12. Soit r → ζ(r) une fonction continue à support dans
[−1, 1], telle que
ζ(r) dr = 1 et ϕ 1 ,ϕ 2 deux fonctions de classe C 2 de
R 3 dans R telles que |∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 (x)| > 0 pour tout x dans un voisinage
de {ϕ 1 = 0} ∩ {ϕ 2 = 0}. Alors
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
|∇ϕ
1
× ∇ϕ
2
|
ε→0
δ {ϕ 1 =0}∩{ϕ 2 =0}
(7.42)
dans l’espace des mesures.
Preuve. Sous les hypothèses faites pour ζ, on a pour toute fonction continue
g : R 2 −→ R par simple changement de variable et convergence dominée
R 2
1
ε 2 ζ
r 1
ε
ζ
r 2
ε
g(r 1 ,r 2 ) dr 1 dr 2 −→
ε−→0
g(0, 0).
(7.43)
Cette propriété exprime la convergence faible vers la masse de Dirac
bidimensionnelle au point (0, 0). En appliquant la formule précédente à
g(r 1 ,r 2 ) =
{ϕ 1 =r 1 }∩{ϕ 2 =r 2 } f (x) dl et en utilisant la formule de la co-aire
(7.41) de la proposition 7.11, on obtient
R 2
{ϕ 1 =r 1 }∩{ϕ 2 =r 2 }
f (x)
1
ε 2 ζ
ϕ 1 (x)
ε
ζ
ϕ 2 (x)
ε
dldr 1 dr 2
=
R 3
f (x)|∇ϕ
1
(x) × ∇ϕ
2
(x)|
1
ε 2 ζ
ϕ 1 (x)
ε
ζ
ϕ 2 (x)
ε
dx
−→
ε−→0
{ϕ 1 =0}∩{ϕ 2 =0}
f (x) dl. (7.44)
La proposition est donc démontrée.
Rappelons que l’évolution de la courbe élastique est capturée par deux
fonctions Level Set ϕ 1 ,ϕ 2 qui sont transportées par le champ de vitesses u. De
plus, l’invariant Z 3 mesure la variation locale de longueur de la courbe d’après
la proposition 7.6 et s’exprime à l’aide du gradient de ces fonctions Level Set
d’après la proposition 7.7. On introduit à présent l’énergie régularisée
E 3 =
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx.
(7.45)
où E 3 est la loi de comportement associée à l’invariant Z 3 . La force associée
à cette énergie est donnée par la proposition suivante :