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7 Annexe
Dans le cas p = 1,
g est un scalaire,
det( g) =
√ ∇ x ϕ · ∇ x ϕ = |∇ x ϕ| et les
lignes de niveau de ϕ sont des surfaces.
Proposition 7.10. La formule de la co-aire pour les objets de codimension 1 s’écrit
R 3
f (x) dx =
R
{ϕ=r}
f (x)|∇ x ϕ(x)|
−1 ds
dr.
(7.40)
On retrouve ici le résultat du lemme 3.1.
Dans le cas p = 2,
g est une matrice 2 × 2,
det( g) =
|∇ x ϕ 1 | 2 |∇ x ϕ 2 | 2 − (∇ x ϕ 1 · ∇ x ϕ 2 ) 2 = |∇ x ϕ
1
× ∇ x ϕ
2
|.
et les lignes de niveau de ϕ sont des courbes.
Proposition 7.11. La formule de la co-aire pour des objets de codimension 2 s’écrit
R 3
f (x) dx =
R 2
{ϕ 1 =r 1 }∩{ϕ 2 =r 2 }
f (x)|∇ x ϕ
1
(x) × ∇ x ϕ
2
(x)|
−1 dl
dr 1 dr 2 (7.41)
Dans le cas p = 3,
g est une matrice 3 × 3,
det( g) =
det([∇ x ϕ][∇ x ϕ] T ) = | det(∇ x ϕ)|.
et les lignes de niveau de ϕ sont des points. On retrouve donc la formule
classique de changement de variables pour les volumes.
7.3.3 Approximation volumique d’intégrales linéiques
et calcul de la force élastique
On peut maintenant en déduire une formule d’approximation volumique
d’une intégrale linéique, analogue à la formule (1.24) pour les intégrales de
surface.