7.3 Justification des résultats utilisés pour les courbes paramétrées dans R
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dite de l’aire concerne les changements de variables pour des fonctions de
R n −→ R 3 avec n = 1, 2 ou 3 et correspond en fait au calcul d’intégrales volumiques, surfaciques et linéiques à l’aide d’une paramétrisation. La formule de
la co-aire traite des changements de variables pour des fonctions de R 3 −→ R p
avec p = 1, 2 ou 3 et correspond en fait au calcul d’intégrales volumiques à
l’aide d’intégrales sur des lignes de niveaux. Ces résultats nous permettront
d’obtenir des formules d’approximations volumiques d’intégrales surfaciques
et linéiques.
Les résultats et preuves sur les formules de l’aire et de la co-aire pourront
être trouvé dans les ouvrages de référence sur le sujet, par exemple [58]. Dans
les propositions suivantes, on considère une fonction f : R 3 → R.
Proposition 7.8. Soit θ → γ(θ) une paramétrisation régulière de l’objet
géométrique que l’on considère (courbe, surface ou volume) avec γ : U −→
R 3 où U est un ouvert de R n (n = 1, 2 ou 3). La formule de l’aire est la
suivante
γ(U )
f =
U
f (γ(θ))
det([∇ θ γ] T [∇ θ γ])dθ.
(7.38)
La matrice [∇ θ γ] est de taille 3×n et donc g(θ) = [∇ θ γ] T [∇ θ γ] est une matrice
n × n de terme général g ij = ∂ θ i γ · ∂ θ j γ. On obtient donc pour une courbe Γ
(n = 1, g est un scalaire) l’élément de longueur
det(g) =
√
∂ θ γ · ∂ θ γ = |∂ θ γ|.
Pour une surface S (n = 2, g est une matrice 2 × 2) on obtient l’élément
de surface
det(g) =
|∂ θ 1 γ| 2 |∂ θ 2 γ| 2 − (∂ θ 1 γ · ∂ θ 2 γ) 2 = |∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|. Enfin
pour un volume Ω (n = 3, g est une matrice 3 × 3) on obtient l’élément de
volume
det(g) =
det([∇ θ γ] T [∇ θ γ]) = | det(∇ θ γ)|.
On cherche maintenant à calculer l’intégrale d’une fonction sur un volume
à l’aide d’intégrales sur les lignes de niveaux d’une fonction vectorielle ϕ.
Proposition 7.9. On considère une fonction ϕ : R 3 −→ R p (p =1,2 ou
3) . La formule de la co-aire est la suivante
R 3
f (x)
det([∇ x ϕ][∇ x ϕ] T ) dx =
R p
{ϕ=r}
f
dr.
(7.39)
La matrice [∇ x ϕ] est de taille p × 3 et
g(x) = [∇ x ϕ][∇ x ϕ] T est une matrice
p × p de terme général
g ij = ∇ x ϕ i ·∇ x ϕ j où l’on a noté ϕ i la i-éme composante
de ϕ.
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dite de l’aire concerne les changements de variables pour des fonctions de
R n −→ R 3 avec n = 1, 2 ou 3 et correspond en fait au calcul d’intégrales volumiques, surfaciques et linéiques à l’aide d’une paramétrisation. La formule de
la co-aire traite des changements de variables pour des fonctions de R 3 −→ R p
avec p = 1, 2 ou 3 et correspond en fait au calcul d’intégrales volumiques à
l’aide d’intégrales sur des lignes de niveaux. Ces résultats nous permettront
d’obtenir des formules d’approximations volumiques d’intégrales surfaciques
et linéiques.
Les résultats et preuves sur les formules de l’aire et de la co-aire pourront
être trouvé dans les ouvrages de référence sur le sujet, par exemple [58]. Dans
les propositions suivantes, on considère une fonction f : R 3 → R.
Proposition 7.8. Soit θ → γ(θ) une paramétrisation régulière de l’objet
géométrique que l’on considère (courbe, surface ou volume) avec γ : U −→
R 3 où U est un ouvert de R n (n = 1, 2 ou 3). La formule de l’aire est la
suivante
γ(U )
f =
U
f (γ(θ))
det([∇ θ γ] T [∇ θ γ])dθ.
(7.38)
La matrice [∇ θ γ] est de taille 3×n et donc g(θ) = [∇ θ γ] T [∇ θ γ] est une matrice
n × n de terme général g ij = ∂ θ i γ · ∂ θ j γ. On obtient donc pour une courbe Γ
(n = 1, g est un scalaire) l’élément de longueur
det(g) =
√
∂ θ γ · ∂ θ γ = |∂ θ γ|.
Pour une surface S (n = 2, g est une matrice 2 × 2) on obtient l’élément
de surface
det(g) =
|∂ θ 1 γ| 2 |∂ θ 2 γ| 2 − (∂ θ 1 γ · ∂ θ 2 γ) 2 = |∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|. Enfin
pour un volume Ω (n = 3, g est une matrice 3 × 3) on obtient l’élément de
volume
det(g) =
det([∇ θ γ] T [∇ θ γ]) = | det(∇ θ γ)|.
On cherche maintenant à calculer l’intégrale d’une fonction sur un volume
à l’aide d’intégrales sur les lignes de niveaux d’une fonction vectorielle ϕ.
Proposition 7.9. On considère une fonction ϕ : R 3 −→ R p (p =1,2 ou
3) . La formule de la co-aire est la suivante
R 3
f (x)
det([∇ x ϕ][∇ x ϕ] T ) dx =
R p
{ϕ=r}
f
dr.
(7.39)
La matrice [∇ x ϕ] est de taille p × 3 et
g(x) = [∇ x ϕ][∇ x ϕ] T est une matrice
p × p de terme général
g ij = ∇ x ϕ i ·∇ x ϕ j où l’on a noté ϕ i la i-éme composante
de ϕ.