176
7 Annexe
Comme γ(0,θ) = Y (γ(t, θ),t) l’équation (7.33) devient
I
g(γ(0,θ))
Z 3 (γ(t, θ),t)
|∂ θ γ(t, θ)| dθ =
I
g(γ(0,θ))
Z 3 (γ(0,θ), 0)
|∂ θ γ(0,θ)| dθ.
Ce résultat est vrai quelque soit g. On obtient donc (7.32) et Z 3 mesure la
variation locale de longueur (dans les cas compressible et incompressible).
Nous montrons maintenant que l’invariant Z 3 peut s’exprimer à l’aide de
deux fonctions Level Set et du jacobien du changement de variable associé
à la déformation noté J. Considérons deux fonctions Level Set ϕ i : R 3 → R
vérifiant l’équation de transport
∂ t ϕ
i
+ u · ∇ϕ
i
= 0.
(7.34)
On rappelle qu’on a alors ϕ i (x, t) = ϕ i
0 (Y (x, t)) et que le gradient de cette
relation donne
∇ϕ
i
= [∇Y ]
T
∇ϕ
i
0 (Y ).
(7.35)
De plus la tangente à la courbe est donnée par
τ =
∇ϕ 1 × ∇ϕ 2
|∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 |
.
(7.36)
Proposition 7.7. Soit J = det(∇ ξ X) = det(∇Y ) −1 , alors
Z 3 = J
|∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 |
|∇ϕ 1
0 (Y ) × ∇ϕ 2
0 (Y )|
.
(7.37)
Preuve. En utilisant (7.25), la définition de B et (7.36) on obtient
(Z 3 )
−1
= (B
−1 τ ) · τ = |[∇Y ]τ |
2
=
[∇Y ]
∇ϕ 1 × ∇ϕ 2
|∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 |
2
.
On obtient le résultat annoncé en utilisant (7.35) et la relation A(A T a 1 ×
A T a 2 ) = det(A T )(a 1 × a 2 ) (qui est une réécriture de l’identité classique
(Aa 1 ) × (Aa 2 ) = Cof(A)(a 1 × a 2 )).
7.3.2 Formules de l’aire et de la co-aire
Ces formules généralisent les changement de variables classiques qui transforment des intégrales entre des domaines de même dimension. La formule