7.3 Justification des résultats utilisés pour les courbes paramétrées dans R
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En utilisant (7.28) on obtient (L =
M
M T )
∂ t L + u · ∇L = [∇u]L + L[∇u]
T ,
(7.29)
où la condition initiale est donnée par L(0) = τ 0 ⊗ τ 0 . On peut noter que B
vérifie la même équation avec une condition initiale différente B(0) = I. En
prenant la trace de (7.29), on peut écrire
∂ t Tr(L) + u · ∇Tr(L) = 2[∇u] : L.
(7.30)
On obtient finalement en utilisant l’équation précédente et (7.25) l’équation
voulue sur Z 3
∂ t Z 3 + u · ∇Z 3 = Z 3 [∇u] : C 3 ,
C 3 = τ ⊗ τ.
(7.31)
.
Montrons maintenant que Z 3 mesure la variation locale de longueur.
Proposition 7.6. Soit u un champ de vitesse régulier et Γ 0 une courbe
régulière, déformée en Γ t = X(t, Γ 0 ). Soit θ → γ(t, θ) une paramétrisation
de la courbe Γ t avec γ : R + × I −→ R 3 où I est un ouvert de R. La
variation locale de longueur vérifie
|∂ θ γ(t, θ)|
|∂ θ γ(0,θ)|
=
Z 3 (γ(t, θ),t)
Z 3 (γ(0,θ), 0)
=
Z 3 (x, t)
Z 3 (Y (x, t), 0)
(7.32)
pour x = γ(t, θ).
Preuve. Soit f : R 3 × R + −→ R une fonction régulière. La formule de Reynolds
pour les courbes (2.19) s’écrit
d
dt
Γ t
f dl
=
Γ t
∂ t f + u · ∇f + f [∇u] : [τ ⊗ τ ] dl.
Soit g : R 3 −→ R une fonction régulière et f (x, t) =
g(Y (x,t))
Z 3 (x,t) . L’expression
sous l’intégrale devient
1
Z 3
(∂ t (g(Y )) + u · ∇(g(Y ))) −
g(Y )
(Z 3 ) 2 (∂ t Z 3 + u · ∇Z 3 − Z 3 [∇u] : [τ ⊗ τ ]).
Le premier terme s’annule avec (7.23). Le second aussi d’après l’équation
(7.26) de la proposition 7.5. Donc
d
dt
Γ t
g(Y (x, t))
Z 3 (x, t)
dl
= 0.
(7.33)