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7 Annexe
7.3.1 Preuves des résultats concernant l’invariant Z 3
Rappelons maintenant les définitions données dans la section 3.4.1. On suit
les déformations de manière eulérienne à l’aide des caractéristiques rétrogrades
qui vérifient l’équation de transport suivante :
∂ t Y + u · ∇Y = 0.
(7.23)
Le tenseur des déformations linéiques est défini par L =
M
M T avec
M = [∇Y ]
−1
[τ 0 (Y ) ⊗ τ 0 (Y )].
où τ 0 désigne la tangente à la courbe dans la configuration initiale. Le
tenseur L peut alors se réecrire avec le tenseur de Cauchy-Green à droite
B = [∇Y ] −1 [∇Y ] −T sous la forme
L =
τ ⊗ τ
(B −1 τ ) · τ
,
(7.24)
où τ désigne la tangente à la courbe dans la configuration déformée. Le plan
orthogonal à τ est donc un sous espace propre de dimension 2 associé à la
valeur propre 0 de l’opérateur L. L’invariant Z 3 est défini par
Z 3 =
Tr(L) =
1
(B −1 τ ) · τ
.
(7.25)
L’équation vérifiée par cet invariant est donnée par la proposition suivante :
Proposition 7.5. Sous hypothèses de régularité sur le champ u, l’invariant Z 3 vérifie :
∂ t Z 3 + u · ∇Z 3 = Z 3 [∇u] : C 3 ,
C 3 = τ ⊗ τ.
(7.26)
Preuve. En utilisant (7.23) on obtient
∂ t ([∇Y ]
−1
) + u · ∇([∇Y ]
−1
) = [∇u][∇Y ]
−1 .
(7.27)
On a également avec (7.23)
∂ t (τ 0 (Y ) ⊗ τ 0 (Y )) + u · ∇(τ 0 (Y ) ⊗ τ 0 (Y )) = 0.
Cette relation combinée à (7.27) donne
∂ t
M + u · ∇
M = [∇u]
M,
∂ t
M
T
+ u · ∇(
M
T
) =
M
T
[∇u]
T .
(7.28)