184
7 Annexe
S 1 =
13
12
(v 1 − 2v 2 + v 3 )
2
+
1
4
(v 1 − 4v 2 + 3v 3 )
2 ,
(7.55)
S 2 =
13
12
(v 2 − 2v 3 + v 4 )
2
+
1
4
(v 2 − v 4 )
2 ,
(7.56)
S 3 =
13
12
(v 3 − 2v 4 + v 5 )
2
+
1
4
(3v 3 − 4v 4 + v 5 )
2 ,
(7.57)
puis on définit
α 1 =
0.1
(S 1 + ε) 2 , α 2 =
0.6
(S 2 + ε) 2 , α 3 =
0.3
(S 3 + ε) 2 ,
où ε > 0 est petit (par exemple ε = 10 −6 max{v 2
k } + 10 −99 ), et enfin les poids
ω k =
α k
α 1 + α 2 + α 3
, k = 1, 2, 3.
Ces choix donnent les poids quasi-optimaux dans les régions où ϕ est régulière,
et reproduisent un comportement de schéma ENO ailleurs. A titre d’exemple la
figure 7.7 donne les résultats obtenus par plusieurs schémas pour la simulation
de l’équation de transport monodimensionnelle d’une fonction protoype de
fonction distance.
On a pris dans ces exemples 200 points de discrétisation en espace sur
l’intervalle [0, 10], c’est à dire que Δx = 0.05, une CFL de 0.2 et un temps
final de t = 5 qui correspond au parcours de la moitié du domaine. Le choix
de cette petite CFL s’explique par le fait qu’en pratique, le pas de temps n’est
pas souvent imposé par l’équation de transport, mais plutôt par la diffusion,
si on est en explicite, ou par le couplage fluide-structure qui dépend de la
raideur de l’interface. Il est donc important que notre schéma de transport de
l’interface ne soit pas trop diffusif à basse CFL. Le schéma temporel utilisé
dans cet exemple est celui d’Euler pour tous les discrétisations spatiales, à
l’exception de la discrétisation centrée qui est stabilisée par RK3. Le schéma
WENO est clairement meilleur que tous les autres schémas, y compris les
schémas sophistiqués de Fromm et Beam-Warming. On remarque en outre
que les schémas (W)ENO, au même titre que le schéma amont sur lequel ils
sont basés, sont les seuls à ne pas présenter de post ou pré-oscillations.
7.5 Quelques pistes pour aller plus loin
Nous listons dans cette section un certain nombre de problèmes qui nous
ont semblé intéressants pour de futures recherches.
Les schémas semi-implicites que nous avons présentés pour stabiliser le
couplage entre une membrane élastique et un fluide porteur sont limités pour
l’heure au cas de la co-dimension 1 et pour des énergies qui ne dépendent
7 Annexe
S 1 =
13
12
(v 1 − 2v 2 + v 3 )
2
+
1
4
(v 1 − 4v 2 + 3v 3 )
2 ,
(7.55)
S 2 =
13
12
(v 2 − 2v 3 + v 4 )
2
+
1
4
(v 2 − v 4 )
2 ,
(7.56)
S 3 =
13
12
(v 3 − 2v 4 + v 5 )
2
+
1
4
(3v 3 − 4v 4 + v 5 )
2 ,
(7.57)
puis on définit
α 1 =
0.1
(S 1 + ε) 2 , α 2 =
0.6
(S 2 + ε) 2 , α 3 =
0.3
(S 3 + ε) 2 ,
où ε > 0 est petit (par exemple ε = 10 −6 max{v 2
k } + 10 −99 ), et enfin les poids
ω k =
α k
α 1 + α 2 + α 3
, k = 1, 2, 3.
Ces choix donnent les poids quasi-optimaux dans les régions où ϕ est régulière,
et reproduisent un comportement de schéma ENO ailleurs. A titre d’exemple la
figure 7.7 donne les résultats obtenus par plusieurs schémas pour la simulation
de l’équation de transport monodimensionnelle d’une fonction protoype de
fonction distance.
On a pris dans ces exemples 200 points de discrétisation en espace sur
l’intervalle [0, 10], c’est à dire que Δx = 0.05, une CFL de 0.2 et un temps
final de t = 5 qui correspond au parcours de la moitié du domaine. Le choix
de cette petite CFL s’explique par le fait qu’en pratique, le pas de temps n’est
pas souvent imposé par l’équation de transport, mais plutôt par la diffusion,
si on est en explicite, ou par le couplage fluide-structure qui dépend de la
raideur de l’interface. Il est donc important que notre schéma de transport de
l’interface ne soit pas trop diffusif à basse CFL. Le schéma temporel utilisé
dans cet exemple est celui d’Euler pour tous les discrétisations spatiales, à
l’exception de la discrétisation centrée qui est stabilisée par RK3. Le schéma
WENO est clairement meilleur que tous les autres schémas, y compris les
schémas sophistiqués de Fromm et Beam-Warming. On remarque en outre
que les schémas (W)ENO, au même titre que le schéma amont sur lequel ils
sont basés, sont les seuls à ne pas présenter de post ou pré-oscillations.
7.5 Quelques pistes pour aller plus loin
Nous listons dans cette section un certain nombre de problèmes qui nous
ont semblé intéressants pour de futures recherches.
Les schémas semi-implicites que nous avons présentés pour stabiliser le
couplage entre une membrane élastique et un fluide porteur sont limités pour
l’heure au cas de la co-dimension 1 et pour des énergies qui ne dépendent