170
7 Annexe
La déformation α = 1 est une dilatation pure et comme prévu, il n’y a qu’une
variation d’aire (voir Figure 3.4).
Les déformations β = 0, β = 1, α = −1 correspondent à différentes transformations de cisaillement et comme prévu, il n’y a qu’une variation de
cisaillement (voir Figure 3.8, 3.6, 3.3). Notons que pour la déformation β = 0,
nous prenons la limite β −→ 0 pour Y et Z i .
La déformation α = 0 est uniaxiale et il y a une variation d’aire et de
cisaillement (voir Figure 3.5). Cela peut sembler surprenant à première vue,
mais quand une surface est étirée dans deux directions de magnitude différente
(α = 1), nous avons un cisaillement et donc comme prévu Z 2 = ch(t(1 − α)) = 1.
Dans les cas de test ’cisaillement circulaire 3D’, les surfaces initiales sont
un cylindre (TC3 voir figure 7.1) et une sphère (TC4 voir Figure 7.2). Dans
chaque plan {z = α} la vitesse est une rotation de magnitude α. Dans ces
cas tests, il n’y a pas de variation d’aire, mais une variation de cisaillement
pure. Pour TC3, Z 2 = 1 +
t
2
2 est constant sur la surface (x 2 + y 2 = 1 sur le
cylindre). Ce cas test est clairement une généralisation 3D sur un cylindre
de la déformation 2D β = 0 et c’est pourquoi nous avons trouvé les mêmes
invariants. Pour TC4, Z 2 = 1 +
t
2
2 (1 − z 2 ) 2 sur la surface et ne dépend que de
la hauteur z ce qui est intuitif (x 2 + y 2 + z 2 = 1 sur la sphère).
TC
ϕ 0 (x, y, z)
u
Y (x, y, z, t)
Z 1
Z 2
1
z
x
αy
0
xe
−t
ye
−αt
z
e
t(1+α)
ch(t(1 − α))
2
z
βy
x
0
⎛
⎝
xch(t
√
β) − y
√
βsh(t
√
β)
−
x
√
β
sh(t
√
β) + ych(t
√
β)
z
⎞
⎠ 1 1 +
(1+β)
2
2β
sh
2 (t
√
β)
3
x
2 + y
2 − 1
−yz
xz
0
xcos(tz) + ysin(tz)
−xsin(tz) + ycos(tz)
z
1
1 +
t
2
2 (x
2 + y
2 )
4
x
2 + y
2 + z
2 − 1
−yz
xz
0
xcos(tz) + ysin(tz)
−xsin(tz) + ycos(tz)
z
1
1 +
t
2 (x
2 +y
2 )
2
2(x 2 +y 2 +z 2 )
5
x
2 + y
2 + z
2 − 1
x
y
z
e
−t x
e
−t y
e
−t z
e
2t
1
6 max(|x|, |y|, |z|) − 1
0
x
0
x
y − tx
z
voir (7.18)-(7.20)
7
x
2 + y
2 + z
2 − 1
0
x
0
x
y − tx
z
voir
(7.21)
voir (7.22)
Tableau 7.1: Table des cas tests
7 Annexe
La déformation α = 1 est une dilatation pure et comme prévu, il n’y a qu’une
variation d’aire (voir Figure 3.4).
Les déformations β = 0, β = 1, α = −1 correspondent à différentes transformations de cisaillement et comme prévu, il n’y a qu’une variation de
cisaillement (voir Figure 3.8, 3.6, 3.3). Notons que pour la déformation β = 0,
nous prenons la limite β −→ 0 pour Y et Z i .
La déformation α = 0 est uniaxiale et il y a une variation d’aire et de
cisaillement (voir Figure 3.5). Cela peut sembler surprenant à première vue,
mais quand une surface est étirée dans deux directions de magnitude différente
(α = 1), nous avons un cisaillement et donc comme prévu Z 2 = ch(t(1 − α)) = 1.
Dans les cas de test ’cisaillement circulaire 3D’, les surfaces initiales sont
un cylindre (TC3 voir figure 7.1) et une sphère (TC4 voir Figure 7.2). Dans
chaque plan {z = α} la vitesse est une rotation de magnitude α. Dans ces
cas tests, il n’y a pas de variation d’aire, mais une variation de cisaillement
pure. Pour TC3, Z 2 = 1 +
t
2
2 est constant sur la surface (x 2 + y 2 = 1 sur le
cylindre). Ce cas test est clairement une généralisation 3D sur un cylindre
de la déformation 2D β = 0 et c’est pourquoi nous avons trouvé les mêmes
invariants. Pour TC4, Z 2 = 1 +
t
2
2 (1 − z 2 ) 2 sur la surface et ne dépend que de
la hauteur z ce qui est intuitif (x 2 + y 2 + z 2 = 1 sur la sphère).
TC
ϕ 0 (x, y, z)
u
Y (x, y, z, t)
Z 1
Z 2
1
z
x
αy
0
xe
−t
ye
−αt
z
e
t(1+α)
ch(t(1 − α))
2
z
βy
x
0
⎛
⎝
xch(t
√
β) − y
√
βsh(t
√
β)
−
x
√
β
sh(t
√
β) + ych(t
√
β)
z
⎞
⎠ 1 1 +
(1+β)
2
2β
sh
2 (t
√
β)
3
x
2 + y
2 − 1
−yz
xz
0
xcos(tz) + ysin(tz)
−xsin(tz) + ycos(tz)
z
1
1 +
t
2
2 (x
2 + y
2 )
4
x
2 + y
2 + z
2 − 1
−yz
xz
0
xcos(tz) + ysin(tz)
−xsin(tz) + ycos(tz)
z
1
1 +
t
2 (x
2 +y
2 )
2
2(x 2 +y 2 +z 2 )
5
x
2 + y
2 + z
2 − 1
x
y
z
e
−t x
e
−t y
e
−t z
e
2t
1
6 max(|x|, |y|, |z|) − 1
0
x
0
x
y − tx
z
voir (7.18)-(7.20)
7
x
2 + y
2 + z
2 − 1
0
x
0
x
y − tx
z
voir
(7.21)
voir (7.22)
Tableau 7.1: Table des cas tests