7.2 Justification des résultats utilisés pour les membranes avec cisaillement
169
Tr(A
2
) = Tr(B
2
) − 2
(B 3 n) · n
(Bn) · n
+
(B 2 n) · n
(Bn) · n
2
.
En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton on a
B
3
− Tr(B)B
2
+ Tr(Cof(B))B − det(B)I = 0,
d’où on déduit
Tr(Cof(A)) =
1
(Bn) · n
(B
3 n) · n − Tr(B)(B
2 n) · n + Tr(Cof(B))(Bn) · n
=
det(B)
(Bn) · n
.
En utilisant (7.16) on obtient
(Bn) · n =
[∇Y ]
−T ∇ϕ
|∇ϕ|
2
=
|∇ϕ 0 (Y )| 2
|∇ϕ| 2 .
En utilisant la relation det(B) = J 2 l’expression de Z 1 se réduit à (7.17).
On retrouve le résultat de la proposition 3.2 : la variation locale d’aire est
capturée par |∇ϕ| dans le cas incompressible puisque dans ce cas J = 1. ÷
7.2.2 Illustrations analytiques pour Z 2
Nous présentons à présent quelques illustrations analytiques pour montrer
que Z 2 défini par (7.4) et (7.3) est intuitivement une "bonne" mesure de la
variation locale de cisaillement d’une surface. Dans tous les cas tests, nous
définissons une surface initiale Γ 0 = {ϕ 0 = 0} et un champ de vitesse u qui
va déplacer les points matériels de cette surface. Nous calculons ensuite les
caractéristiques retrogrades Y et les invariants Z 1 et Z 2 pour voir comment
ces quantités eulériennes enregistrent l’information sur la déformation. Les cas
tests et les résultats sont décrits dans la Table 7.1. Dans cette première série
de cas tests (TC1 à TC4), alors que les points matériels ont pu bouger, la
surface initiale et et la surface déformée sont globalement les mêmes (Γ 0 = Γ t ).
De plus, les déformations sont uniformes dans l’espace dans le sens où les
invariants Z i sur la surface ne dépendent pas des variables spatiales (sauf
pour TC4). Dans les déformations 2D dénommées α et β (TC1 et TC2)
la surface initiale est le plan z = 0. On renvoie à la section 3.3.3 pour les
figures associées à ces deux premiers cas tests. Le champ de vitesse associé à
chaque déformation est représenté sur les figures ci-dessous avec les valeurs
correspondantes de Z 1 et Z 2 .
La déformation β = −1 est une rotation et comme prévu (avec
√
β identifié
à i ∈ C), il n’y a pas de variation d’aire et de cisaillement (voir Figure 3.7).
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Tr(A
2
) = Tr(B
2
) − 2
(B 3 n) · n
(Bn) · n
+
(B 2 n) · n
(Bn) · n
2
.
En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton on a
B
3
− Tr(B)B
2
+ Tr(Cof(B))B − det(B)I = 0,
d’où on déduit
Tr(Cof(A)) =
1
(Bn) · n
(B
3 n) · n − Tr(B)(B
2 n) · n + Tr(Cof(B))(Bn) · n
=
det(B)
(Bn) · n
.
En utilisant (7.16) on obtient
(Bn) · n =
[∇Y ]
−T ∇ϕ
|∇ϕ|
2
=
|∇ϕ 0 (Y )| 2
|∇ϕ| 2 .
En utilisant la relation det(B) = J 2 l’expression de Z 1 se réduit à (7.17).
On retrouve le résultat de la proposition 3.2 : la variation locale d’aire est
capturée par |∇ϕ| dans le cas incompressible puisque dans ce cas J = 1. ÷
7.2.2 Illustrations analytiques pour Z 2
Nous présentons à présent quelques illustrations analytiques pour montrer
que Z 2 défini par (7.4) et (7.3) est intuitivement une "bonne" mesure de la
variation locale de cisaillement d’une surface. Dans tous les cas tests, nous
définissons une surface initiale Γ 0 = {ϕ 0 = 0} et un champ de vitesse u qui
va déplacer les points matériels de cette surface. Nous calculons ensuite les
caractéristiques retrogrades Y et les invariants Z 1 et Z 2 pour voir comment
ces quantités eulériennes enregistrent l’information sur la déformation. Les cas
tests et les résultats sont décrits dans la Table 7.1. Dans cette première série
de cas tests (TC1 à TC4), alors que les points matériels ont pu bouger, la
surface initiale et et la surface déformée sont globalement les mêmes (Γ 0 = Γ t ).
De plus, les déformations sont uniformes dans l’espace dans le sens où les
invariants Z i sur la surface ne dépendent pas des variables spatiales (sauf
pour TC4). Dans les déformations 2D dénommées α et β (TC1 et TC2)
la surface initiale est le plan z = 0. On renvoie à la section 3.3.3 pour les
figures associées à ces deux premiers cas tests. Le champ de vitesse associé à
chaque déformation est représenté sur les figures ci-dessous avec les valeurs
correspondantes de Z 1 et Z 2 .
La déformation β = −1 est une rotation et comme prévu (avec
√
β identifié
à i ∈ C), il n’y a pas de variation d’aire et de cisaillement (voir Figure 3.7).