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7 Annexe
1
Z 1
(∂ t (g(Y )) + u · ∇(g(Y ))) −
g(Y )
(Z 1 ) 2 (∂ t Z 1 + u · ∇Z 1 − Z 1 [∇u] : [I − n ⊗ n]).
Au vu de (7.2) et de l’équation (7.5) du théorème 7.2, le premier et le second
termes s’annulent. Il vient donc
d
dt
S t
g(Y (x, t))
Z 1 (x, t)
ds
= 0.
(7.14)
Comme γ(0,θ) = Y (γ(t, θ),t), l’équation (7.14) devient
U
g(γ(0,θ))
Z 1 (γ(t, θ),t)
|∂ θ 1 γ(t, θ) × ∂ θ 2 γ(t, θ)| dθ
=
U
g(γ(0,θ))
Z 1 (γ(0,θ), 0)
|∂ θ 1 γ(0,θ) × ∂ θ 2 γ(0,θ)| dθ.
Ce résultat est vrai quelque soit g. On obtient donc (7.13) et Z 1 mesure la
variation locale d’aire (dans les cas compressible et incompressible).
Nous montrons maintenant que l’invariant Z 1 peut s’exprimer avec une seule
fonction Level Set et le jacobien du changement de variable associé à la
déformation noté J. Considérons ϕ : R 3 → R une fonction Level Set vérifiant
l’équation de transport
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(7.15)
On rappelle qu’on a alors ϕ(x, t) = ϕ 0 (Y (x, t)) et que le gradient de cette
relation donne
∇ϕ = [∇Y ]
T
∇ϕ 0 (Y )
(7.16)
De plus, on rappelle que la normale à la surface {ϕ = 0} est donnée par
n =
∇ϕ
|∇ϕ| .
Proposition 7.4. Soit J = det(∇ ξ X) = det(∇Y ) −1 , alors
Z 1 = J
|∇ϕ|
|∇ϕ 0 (Y )|
.
(7.17)
Preuve. L’invariant Z 1 =
Tr(Cof(A)) est défini par (7.4). En prenant la
trace de (7.3), on a
Tr(A)
2
=
Tr(B) −
(B 2 n) · n
(Bn) · n
2
et