7.2 Justification des résultats utilisés pour les membranes avec cisaillement
167
Cette relation combinée à (7.7) donne
∂ t M + u · ∇M = [∇u]M,
∂ t M
T
+ u · ∇(M
T
) = M
T
[∇u]
T .
(7.10)
En utilisant (7.10) on obtient (A = MM T )
∂ t A + u · ∇A = [∇u]A + A[∇u]
T
(7.11)
où la condition initiale est donnée par A(0) = I − n 0 ⊗ n 0 . On peut noter que
d’après (7.9), B vérifie la même équation avec une condition initiale différente
B(0) = I. En prenant la trace de (7.11), il vient
∂ t Tr(A) + u · ∇Tr(A) = 2[∇u] : A
(7.12)
puis
∂ t Tr(Cof(A)) + u · ∇Tr(Cof(A)) = 2[A Tr(A) − A
2
] : [∇u].
En utilisant l’équation précédente et l’identité (7.1) du lemme 7.1 on obtient
(7.5)
∂ t Z 1 + u · ∇Z 1 = Z 1
[A Tr(A) − A 2 ]
Tr(Cof(A))
: [∇u] = Z 1 [I − n ⊗ n] : [∇u].
En utilisant (7.12) et l’équation précédente sur Z 1 on obtient (7.6). On a
C i n = 0 car An = 0.
Montrons maintenant que Z 1 mesure la variation locale d’aire.
Proposition 7.3. Soit u un champ de vitesse régulier et S 0 une surface régulière, déformée en S t = X(t, S 0 ). Soit (θ 1 ,θ 2 ) → γ(t, θ 1 ,θ 2 ) une
paramétrisation de la surface S t avec γ : R + × U −→ R 3 où U est un
ouvert de R 2 . La variation locale d’aire vérifie
|∂ θ 1 γ(t, θ) × ∂ θ 2 γ(t, θ)|
|∂ θ 1 γ(0,θ) × ∂ θ 2 γ(0,θ)|
=
Z 1 (γ(t, θ),t)
Z 1 (γ(0,θ), 0)
=
Z 1 (x, t)
Z 1 (Y (x, t), 0)
(7.13)
avec la notation θ = (θ 1 ,θ 2 ) et x = γ(t, θ).
Preuve. Soit f : R 3 × R + −→ R une fonction régulière. La formule de Reynolds
pour les surfaces (2.16) s’écrit
d
dt
S t
fds
=
S t
∂ t f + u · ∇f + f [∇u] : [I − n ⊗ n]ds.
Soit g : R 3 −→ R une fonction régulière et f (x, t) =
g(Y (x,t))
Z 1 (x,t) . L’expression
sous l’intégrale devient
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Cette relation combinée à (7.7) donne
∂ t M + u · ∇M = [∇u]M,
∂ t M
T
+ u · ∇(M
T
) = M
T
[∇u]
T .
(7.10)
En utilisant (7.10) on obtient (A = MM T )
∂ t A + u · ∇A = [∇u]A + A[∇u]
T
(7.11)
où la condition initiale est donnée par A(0) = I − n 0 ⊗ n 0 . On peut noter que
d’après (7.9), B vérifie la même équation avec une condition initiale différente
B(0) = I. En prenant la trace de (7.11), il vient
∂ t Tr(A) + u · ∇Tr(A) = 2[∇u] : A
(7.12)
puis
∂ t Tr(Cof(A)) + u · ∇Tr(Cof(A)) = 2[A Tr(A) − A
2
] : [∇u].
En utilisant l’équation précédente et l’identité (7.1) du lemme 7.1 on obtient
(7.5)
∂ t Z 1 + u · ∇Z 1 = Z 1
[A Tr(A) − A 2 ]
Tr(Cof(A))
: [∇u] = Z 1 [I − n ⊗ n] : [∇u].
En utilisant (7.12) et l’équation précédente sur Z 1 on obtient (7.6). On a
C i n = 0 car An = 0.
Montrons maintenant que Z 1 mesure la variation locale d’aire.
Proposition 7.3. Soit u un champ de vitesse régulier et S 0 une surface régulière, déformée en S t = X(t, S 0 ). Soit (θ 1 ,θ 2 ) → γ(t, θ 1 ,θ 2 ) une
paramétrisation de la surface S t avec γ : R + × U −→ R 3 où U est un
ouvert de R 2 . La variation locale d’aire vérifie
|∂ θ 1 γ(t, θ) × ∂ θ 2 γ(t, θ)|
|∂ θ 1 γ(0,θ) × ∂ θ 2 γ(0,θ)|
=
Z 1 (γ(t, θ),t)
Z 1 (γ(0,θ), 0)
=
Z 1 (x, t)
Z 1 (Y (x, t), 0)
(7.13)
avec la notation θ = (θ 1 ,θ 2 ) et x = γ(t, θ).
Preuve. Soit f : R 3 × R + −→ R une fonction régulière. La formule de Reynolds
pour les surfaces (2.16) s’écrit
d
dt
S t
fds
=
S t
∂ t f + u · ∇f + f [∇u] : [I − n ⊗ n]ds.
Soit g : R 3 −→ R une fonction régulière et f (x, t) =
g(Y (x,t))
Z 1 (x,t) . L’expression
sous l’intégrale devient