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7 Annexe
Rappelons maintenant les définitions données dans la section 3.3.2. On suit
les déformations de manière eulérienne à l’aide des caractéristiques rétrogrades
qui vérifient l’équation de transport suivante :
∂ t Y + u · ∇Y = 0.
(7.2)
Le tenseur des déformations surfacique est défini par A = MM T avec
M = [∇Y ]
−1
[I − n 0 (Y ) ⊗ n 0 (Y )].
où n 0 désigne la normale à la surface dans la configuration initiale. Le tenseur
A peut alors se réecrire avec le tenseur de Cauchy-Green à droite B =
[∇Y ] −1 [∇Y ] −T sous la forme
A = B −
(Bn) ⊗ (Bn)
(Bn) · n
.
(7.3)
où n désigne la normale à la surface dans la configuration déformée. On a
An = 0 donc det(A) = 0. Les invariants Z 1 et Z 2 sont définis par
Z 1 =
Tr(Cof(A))
et
Z 2 =
Tr(A)
2
Tr(Cof(A))
.
(7.4)
Les équations vérifiées par ces invariants sont données par la proposition
suivante :
Proposition 7.2. Sous hypothèses de régularité sur le champ u, les
invariants vérifient :
∂ t Z 1 + u · ∇Z 1 = Z 1 [∇u] : C 1 ,
C 1 = I − n ⊗ n,
(7.5)
∂ t Z 2 + u · ∇Z 2 = Z 2 [∇u] : C 2 ,
C 2 =
2A
Tr(A)
− (I − n ⊗ n).
(7.6)
Preuve. En utilisant (7.2) on obtient
∂ t ([∇Y ]
−1
) + u · ∇([∇Y ]
−1
) = [∇u][∇Y ] −1 ,
(7.7)
∂ t ([∇Y ]
−T
) + u · ∇([∇Y ]
−T
) = [∇Y ] −T [∇u] T ,
(7.8)
puis, avec B = [∇Y ] −1 [∇Y ] −T ,
∂ t B + u · ∇B = [∇u]B + B[∇u]
T .
(7.9)
On a également avec (7.2)
∂ t (I − n 0 (Y ) ⊗ n 0 (Y )) + u · ∇(I − n 0 (Y ) ⊗ n 0 (Y )) = 0.