7.2 Justification des résultats utilisés pour les membranes avec cisaillement
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On présentera ensuite quelques illustrations analytiques afin justifier pourquoi
le deuxième invariant Z 2 mesure la variation de cisaillement.
7.2.1 Preuves des résultats concernant l’invariant Z 1
Commençons cette section par un lemme qui nous servira dans la suite. On
peut le voir comme une extension du théorème classique de Cayley-Hamilton
lorsque la matrice a une valeur propre nulle.
Lemme 7.1. Soit A une matrice de taille 3 symétrique avec une valeur
propre nulle simple. Notons n le vecteur propre associé qui vérifie An = 0.
Alors on a l’identité :
A
2
− Tr(A)A + Tr(Cof(A))[I − n ⊗ n] = 0.
(7.1)
Preuve. Il est équivalent de montrer le lemme dans n’importe quelle base de
R 3 . On considère dans R 3 la base orthonormale B = (e
1 ,e
2 ,e
3 ) = (τ 1 ,τ 2 ,n)
où (τ 1 ,τ 2 ) est une base orthonormale du plan tangent orthogonal à n. Soit
A la matrice du tenseur A dans la base B et on note A
ij ses coefficients.
D’après les hypothèses, on a An = 0, donc A
i3 = 0. Comme A est une matrice
symétrique et B est une base orthonormale, la matrice A est symétrique et
sa structure est donnée par :
A
=
⎛
⎝
A
11 A
12 0
A
12 A
22 0
0 0 0
⎞
⎠ ,
et donc
(A
)
2
=
⎛
⎝
(A
11 ) 2 + (A
12 ) 2 A
11 A
12 + A
12 A
22 0
A
11 A
12 + A
12 A
22 (A
12 ) 2 + (A
22 ) 2 0
0
0
0
⎞
⎠ .
Dans la base B on a
I − n ⊗ n =
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 0
⎞
⎠ .
A et A ont les mêmes invariants donc
Tr(A) = Tr(A
) = A
11 + A
22 ,
Tr(Cof(A)) = Tr(Cof(A
)) = A
11 A
22 − (A
12 )
2 .
Il est simple de montrer que A Tr(A ) − (A ) 2 = Tr(Cof(A ))[I − n ⊗ n] et le
résultat est prouvé.