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7 Annexe
G =
x
2
a 2 +
y
2
b 2 +
z
2
c 2
a 2 b 2 c 2
x 2
a 4 +
y 2
b 4 +
z 2
c 4
2 .
Exemple du Tore (R > r)
Considérons un tore représenté par la fonction Level Set suivante
R
3
−→ R
ϕ :
(x, y, z) →
z 2 + (R −
x 2 + y 2 ) 2 − r.
Cette fonction Level Set est une fonction distance car |∇ϕ| = 1. La normale
est donnée par
n =
1
z 2 + (R −
x 2 + y 2 ) 2
x
1 −
R
x 2 + y 2
,y
1 −
R
x 2 + y 2
,z
.
En utilisant (1.9) on obtient la courbure moyenne
H =
2 −
R
x 2 + y 2
1
z 2 + (R −
x 2 + y 2 ) 2
.
et, à l’aide de (1.10) la courbure de Gauss
G =
1 −
R
x 2 + y 2
1
z 2 + (R −
x 2 + y 2 ) 2
.
Dans le cas du tore ces formules se simplifient car z 2 + (R −
x 2 + y 2 ) 2 = r 2 .
7.2 Justification des résultats utilisés pour les
membranes avec cisaillement
On s’intéresse dans cette section à détailler les résultats concernant les
membranes avec cisaillement utilisés dans la section 3.3 du chapitre 3. On
montrera tout d’abord quelles sont les équations vérifiées par les invariants
puis on montrera que le premier invariant Z 1 correspond à la variation locale
d’aire et peut être calculé à l’aide du gradient d’une seule fonction Level Set.