Chapitre 7
Annexe
7.1 Exemples de calcul de la courbure avec une fonction
Level Set
On présente dans cette section un calcul explicite la courbure moyenne et
de Gauss d’un ellipsoïde et d’un tore définis à l’aide de fonctions Level Set.
Ces formules pourront être utilisées pour valider le calcul de la courbure dans
un code numérique.
Exemple de l’ellipsoïde
Considérons l’ellipsoïde représenté par la fonction Level Set suivante
R
3
−→ R
ϕ :
(x, y, z) →
x
a
2 +
y
b
2 +
z
c
2 − 1.
La normale est donnée par
n =
1
x 2
a 4 +
y 2
b 4 +
z 2
c 4
x
a 2 ,
y
b 2 ,
z
c 2
.
En utilisant (1.9), on obtient la courbure moyenne
H =
x
2
a 2 (b 2 + c 2 ) +
y
2
b 2 (a 2 + c 2 ) +
z
2
c 2 (a 2 + b 2 )
a 2 b 2 c 2
x 2
a 4 +
y 2
b 4 +
z 2
c 4
3
2
et, à l’aide de (1.10) la courbure de Gauss
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G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_7