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6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
U E 0,1 (x) (y) =
1
| Ω E 0,1 |
Ω
ρ e 0,1 (x) (z)χ E 0,1 (x) (z)U (z)dz
+
J
−1
E 0,1 (x)
Ω
ρ E 0,1 (x) (z)χ E 0,1 (x) (z)U (z) × (z − x
g
E 0,1 (z)
)dz
×(y −x
g
E 0,1 (y)
).
(6.11)
où J E 0,1 (x) et x
g
E 0,1 (x)
sont les matrices d’inertie et le centre de gravité du
solide Ω E 0,1 (x) .
Dans Ω i c’est à dire lorsque L 0,1 = i, cette vitesse globale coincide avec U i . Le
modèle total que nous considérons dans les illustrations ci-dessous correspond
donc, dans le cas de solides rigides immergés, à transcrire le modèle (5.3-5.7)
du chapitre 5. C’est possible plus synthétiquement en l’écrivant sous la forme :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) − μΔu + ∇p
= ρg +
1
η (χ(U E 0,1 − u)) + F etiq dans Ω
div u = 0
dans Ω
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0
dans Ω
(6.12)
où χ est une fonction indicatrice régularisée du domaine occupé par l’ensemble
des solides immergés, et u L 0,1 est une vitesse rigide sur chaque solide, construite
grâce aux étiquettes indépendamment sur chaque solide comme dans (5.5)
puis réassemblée sur l’ensemble du domaine Ω (voir [90, 89] pour plus de
détails).
6.2.3 Efficacité de la méthode
Pour vérifier l’efficacité de la méthode, nous comparons dans cette section
le temps nécessaire au calcul de l’interaction de N disques immergés, d’une
part en considérant un modèle de collision à N fonctions Level Set et d’autre
part par la présente méthode.
Dans le cas de disques rigides, au lieu de transporter une fonction distance à
l’union des disques puis de lui appliquer la méthode de fast-marching multiple,
nous transportons les centres de gravité et reconstruisons les N fonctions
distances. Cette partie de l’algorithme, bien que dépendant du nombre d’objets,
est très rapide. Nous pouvons ainsi nous concentrer sur le gain de temps de
calcul que représente la reconstruction des fonctions étiquettes, puis leur
utilisation pour le calcul de la force d’interaction par (6.8), par rapport au
calcul de la force d’interaction globale par (6.7).
Les résultats présentés correspondent à la moyenne du temps de calcul
des dix premières itérations pour chacune des méthodes. Ce temps moyen est
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
U E 0,1 (x) (y) =
1
| Ω E 0,1 |
Ω
ρ e 0,1 (x) (z)χ E 0,1 (x) (z)U (z)dz
+
J
−1
E 0,1 (x)
Ω
ρ E 0,1 (x) (z)χ E 0,1 (x) (z)U (z) × (z − x
g
E 0,1 (z)
)dz
×(y −x
g
E 0,1 (y)
).
(6.11)
où J E 0,1 (x) et x
g
E 0,1 (x)
sont les matrices d’inertie et le centre de gravité du
solide Ω E 0,1 (x) .
Dans Ω i c’est à dire lorsque L 0,1 = i, cette vitesse globale coincide avec U i . Le
modèle total que nous considérons dans les illustrations ci-dessous correspond
donc, dans le cas de solides rigides immergés, à transcrire le modèle (5.3-5.7)
du chapitre 5. C’est possible plus synthétiquement en l’écrivant sous la forme :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) − μΔu + ∇p
= ρg +
1
η (χ(U E 0,1 − u)) + F etiq dans Ω
div u = 0
dans Ω
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0
dans Ω
(6.12)
où χ est une fonction indicatrice régularisée du domaine occupé par l’ensemble
des solides immergés, et u L 0,1 est une vitesse rigide sur chaque solide, construite
grâce aux étiquettes indépendamment sur chaque solide comme dans (5.5)
puis réassemblée sur l’ensemble du domaine Ω (voir [90, 89] pour plus de
détails).
6.2.3 Efficacité de la méthode
Pour vérifier l’efficacité de la méthode, nous comparons dans cette section
le temps nécessaire au calcul de l’interaction de N disques immergés, d’une
part en considérant un modèle de collision à N fonctions Level Set et d’autre
part par la présente méthode.
Dans le cas de disques rigides, au lieu de transporter une fonction distance à
l’union des disques puis de lui appliquer la méthode de fast-marching multiple,
nous transportons les centres de gravité et reconstruisons les N fonctions
distances. Cette partie de l’algorithme, bien que dépendant du nombre d’objets,
est très rapide. Nous pouvons ainsi nous concentrer sur le gain de temps de
calcul que représente la reconstruction des fonctions étiquettes, puis leur
utilisation pour le calcul de la force d’interaction par (6.8), par rapport au
calcul de la force d’interaction globale par (6.7).
Les résultats présentés correspondent à la moyenne du temps de calcul
des dix premières itérations pour chacune des méthodes. Ce temps moyen est