6.2 Une méthode efficace pour traiter les contacts entre multiples objets
155
Fig. 6.5: Illustration de l’algorithme de fast-marching multiple pour 20 objets.
Droite : E 1 . Gauche : E 2 . La couleur noire correspond aux valeurs non calculées
de E 1 et E 2 . Les contours blancs correspondent à la ligne de niveau zéro de
la fonction ψ 1 . Tiré de [90].
∀x ∈ Ω, ∀y ∈ Ω, χ E 0,1 (x) (y) = 1 − H(
ϕ E 0,1 (x) (y)
ε
)
En notant ρ E 0,1 (x) la densité du solide Ω E 0,1 (x) nous obtenons la fonction
de densité globale :
ρ x (y) = ρ f (1 − χ E 0,1 (x) (y)) + χ E 0,1 (x) (y)ρ E 0,1 (x) (y)
Pour calculer le terme de pénalisation, la valeur des vitesses rigides est
seulement utile dans les particules et leur voisinage de taille ε. On définit ainsi
une vitesse globale coïncidant avec les N vitesses rigides U i ,i ∈ {1, ..., N } sur
les solides.
Plus précisément, pour tout x ∈ Ω, y → U E 0,1 (x) (y) est la vitesse rigide du
soide Ω E 0,1 (x) obtenue en moyennant les vitesses de translation et angulaire
(équation (5.5), voir aussi [34]).
En posant
∀x ∈ Ω, | Ω E 0,1 (x) |=
Ω E 0,1 (x)
ρ(z)dz =
Ω
ρ(z)χ E ε
0 (x) (z)dz
(6.10)
on obtient la formulation suivante ∀x ∈ Ω, ∀y ∈ Ω,