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6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
des deux fonctions ψ 1 and ψ 2 . On pose :
∀x ∈ Ω, F etiq (x) =
k
ε
ρ(x)ζ
ψ 1 (x)
ε
∇ψ 2 (x)
ψ 2 (x)
exp
−
ψ 2 (x)
ε
(6.8)
Le terme ζ
ψ 1 (x)
ε
localise cette force sur l’union des interfaces, ce qui
est attendu. Plus précisément, la force a son support inclus dans Γ ε = {x ∈
Ω, ψ 1 (x) ≤ ε}.
Ce modèle de collision prend en compte l’interaction entre les corps les
plus proches en tout point. En effet, comme ψ 2 est la distance au deuxième
objet le plus proche en tous les points du domaine fluide / structures, si un
corps est entouré d’autres solides, l’interaction avec les autres structures est
prise en compte sur différentes parties de son interface.
Par rapport à (6.7), la complexité du calcul est évidemment réduite de
manière significative. Nous renvoyons à [90] et la thèse [89] pour une analyse
de consistance et d’erreur entre cette force de répulsion tronquée et la force
globale. Dans ces références, il est démontré que l’écart entre la force complète
et la force tronquée peut être contrôlé lorsque le rapport entre la taille des
objets en interaction (pour des disques, sinon leur rayon de courbure minimal)
et ε tend vers +∞. Ceci permet d’estimer, au moins dans un modèle de
couplage simplifié (équations fluides de type Stokes), l’erreur introduite dans
le calcul final des vitesses par la troncature des forces de collision.
Au niveau algorithmique, les étiquettes E i sont mises à jour à chaque
déplacement des interfaces par une méthode de fast-marching multiple [17].
Les champs d’étiquettes ne sont calculés qu’au voisinage des interfaces solides
pour E 1 , et au voisinage de deux interfaces solides proches pour E 2 , ce qui
réduit notablement le nombre de points de calcul, comme illustré figure 6.5.
6.2.2.4 Pénalisation et modèle complet
En plus que de diminuer la complexité du calcul des forces d’interaction,
les étiquettes peuvent être utilisées pour optimiser l’étape de pénalisation.
Pour cela, définissons une nouvelle étiquette E 0,1 qui donne en tout point
du domaine l’objet fluide ou solide le plus proche, c’est à dire ;
∀x ∈ Ω, E 0,1 (x) =
E 0 (x) si (E 0 (x) = N f )
E 1 (x) sinon.
(6.9)
Dans les exemples qui suivent on utilisera une version régularisée de la fonction
caractéristique des objets, la fonction caractéristique régularisée des N solides
immergés est alors donnée par :
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
des deux fonctions ψ 1 and ψ 2 . On pose :
∀x ∈ Ω, F etiq (x) =
k
ε
ρ(x)ζ
ψ 1 (x)
ε
∇ψ 2 (x)
ψ 2 (x)
exp
−
ψ 2 (x)
ε
(6.8)
Le terme ζ
ψ 1 (x)
ε
localise cette force sur l’union des interfaces, ce qui
est attendu. Plus précisément, la force a son support inclus dans Γ ε = {x ∈
Ω, ψ 1 (x) ≤ ε}.
Ce modèle de collision prend en compte l’interaction entre les corps les
plus proches en tout point. En effet, comme ψ 2 est la distance au deuxième
objet le plus proche en tous les points du domaine fluide / structures, si un
corps est entouré d’autres solides, l’interaction avec les autres structures est
prise en compte sur différentes parties de son interface.
Par rapport à (6.7), la complexité du calcul est évidemment réduite de
manière significative. Nous renvoyons à [90] et la thèse [89] pour une analyse
de consistance et d’erreur entre cette force de répulsion tronquée et la force
globale. Dans ces références, il est démontré que l’écart entre la force complète
et la force tronquée peut être contrôlé lorsque le rapport entre la taille des
objets en interaction (pour des disques, sinon leur rayon de courbure minimal)
et ε tend vers +∞. Ceci permet d’estimer, au moins dans un modèle de
couplage simplifié (équations fluides de type Stokes), l’erreur introduite dans
le calcul final des vitesses par la troncature des forces de collision.
Au niveau algorithmique, les étiquettes E i sont mises à jour à chaque
déplacement des interfaces par une méthode de fast-marching multiple [17].
Les champs d’étiquettes ne sont calculés qu’au voisinage des interfaces solides
pour E 1 , et au voisinage de deux interfaces solides proches pour E 2 , ce qui
réduit notablement le nombre de points de calcul, comme illustré figure 6.5.
6.2.2.4 Pénalisation et modèle complet
En plus que de diminuer la complexité du calcul des forces d’interaction,
les étiquettes peuvent être utilisées pour optimiser l’étape de pénalisation.
Pour cela, définissons une nouvelle étiquette E 0,1 qui donne en tout point
du domaine l’objet fluide ou solide le plus proche, c’est à dire ;
∀x ∈ Ω, E 0,1 (x) =
E 0 (x) si (E 0 (x) = N f )
E 1 (x) sinon.
(6.9)
Dans les exemples qui suivent on utilisera une version régularisée de la fonction
caractéristique des objets, la fonction caractéristique régularisée des N solides
immergés est alors donnée par :