6.2 Une méthode efficace pour traiter les contacts entre multiples objets
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capture l’union de toutes les interfaces des solides et ψ 2 indique la distance
au premier solide le plus proche. En conséquence, sur chaque point d’une
structure, nous avons la distance qui nous sépare du plus proche autre solide,
ce qui permet de définir un modèle de collision, car éviter les contacts entre
solides équivaut à imposer :
∀x ∈ Ω,
ψ 2 (x) > 0.
Dans toute la suite, on appliquera cet algorithme aux forces de collision
définies par (6.3). Cependant il est évident qu’il peut tout aussi bien prendre
en compte des forces de contact plus générales, telles que des forces de cohésion
de la forme (6.4) ou des forces de lubrification.
6.2.2.3 Traitement des termes de collision
Nous partons du modèle de force de collision donné par (6.3). Dans ce
modèle chaque interface de solide est capturée par sa propre fonction Level
Set. Nous considérons N corps immergés dans un fluide et nous notons F j,i
la force appliquée par le corps Ω j sur le corps Ω i et ϕ i la fonction Level Set
capturant la frontière Γ i du corps Ω i . La distance d’un point x de Ω i au
solide Ω j est fournie par ϕ j (x) et la direction de la force F j,i est obtenue
directement par ∇ϕ j .
De plus, pour localiser l’interface Γ i , nous utilisons une fonction de coupure
ζ régularisée sur une épaisseur ε sur chaque partie de l’interface. Suivant (6.3),
la force répulsive à courte portée est exprimée comme suit (pour simplifier
l’écriture on se place dans les cas où les fonctions ϕ i sont des distances signées)
∀x ∈ Ω, F global (x) = ρ(x)
N
i,j=1
i =j
k
ε
ζ
ϕ i (x)
ε
∇ϕ j (x)
ϕ j (x)
exp
−
ϕ j (x)
ε
, (6.7)
où ρ désigne la densité et k est une constante répulsive qui, comme expliqué
dans la section précédente, peut être prise proportionnelle au carré des vitesses
relatives des corps correspondants juste avant la collision.
Le coefficient ε représente la demi-épaisseur de l’interface sur laquelle les
forces répulsives sont appliquées. Les forces d’interaction diminuent rapidement
de façon exponentielle pour les structures éloignées, ce qui réduit le nombre
de voisins en interaction d’influence. Néanmoins, ce modèle de collision prend
a priori en compte toutes les interactions possibles entre les corps N . ce qui
conduit à un effort de calcul en O(N 2 ) qui devient rapidement prohibitif pour
N grand.
Pour réduire la complexité de (6.7), nous modifions F global de manière à
ne prendre en compte que les plus proches voisins et l’exprimer au moyens
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capture l’union de toutes les interfaces des solides et ψ 2 indique la distance
au premier solide le plus proche. En conséquence, sur chaque point d’une
structure, nous avons la distance qui nous sépare du plus proche autre solide,
ce qui permet de définir un modèle de collision, car éviter les contacts entre
solides équivaut à imposer :
∀x ∈ Ω,
ψ 2 (x) > 0.
Dans toute la suite, on appliquera cet algorithme aux forces de collision
définies par (6.3). Cependant il est évident qu’il peut tout aussi bien prendre
en compte des forces de contact plus générales, telles que des forces de cohésion
de la forme (6.4) ou des forces de lubrification.
6.2.2.3 Traitement des termes de collision
Nous partons du modèle de force de collision donné par (6.3). Dans ce
modèle chaque interface de solide est capturée par sa propre fonction Level
Set. Nous considérons N corps immergés dans un fluide et nous notons F j,i
la force appliquée par le corps Ω j sur le corps Ω i et ϕ i la fonction Level Set
capturant la frontière Γ i du corps Ω i . La distance d’un point x de Ω i au
solide Ω j est fournie par ϕ j (x) et la direction de la force F j,i est obtenue
directement par ∇ϕ j .
De plus, pour localiser l’interface Γ i , nous utilisons une fonction de coupure
ζ régularisée sur une épaisseur ε sur chaque partie de l’interface. Suivant (6.3),
la force répulsive à courte portée est exprimée comme suit (pour simplifier
l’écriture on se place dans les cas où les fonctions ϕ i sont des distances signées)
∀x ∈ Ω, F global (x) = ρ(x)
N
i,j=1
i =j
k
ε
ζ
ϕ i (x)
ε
∇ϕ j (x)
ϕ j (x)
exp
−
ϕ j (x)
ε
, (6.7)
où ρ désigne la densité et k est une constante répulsive qui, comme expliqué
dans la section précédente, peut être prise proportionnelle au carré des vitesses
relatives des corps correspondants juste avant la collision.
Le coefficient ε représente la demi-épaisseur de l’interface sur laquelle les
forces répulsives sont appliquées. Les forces d’interaction diminuent rapidement
de façon exponentielle pour les structures éloignées, ce qui réduit le nombre
de voisins en interaction d’influence. Néanmoins, ce modèle de collision prend
a priori en compte toutes les interactions possibles entre les corps N . ce qui
conduit à un effort de calcul en O(N 2 ) qui devient rapidement prohibitif pour
N grand.
Pour réduire la complexité de (6.7), nous modifions F global de manière à
ne prendre en compte que les plus proches voisins et l’exprimer au moyens