6.2 Une méthode efficace pour traiter les contacts entre multiples objets
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interfaces est transportée avec la vitesse du fluide. Des fonctions Level Set
permettent ensuite d’une part d’étiqueter les solides et pour chaque point du
domaine de connaître le numéro du solide le plus proche et le deuxième plus
proche. Un algorithme de type multi fast-marching est ensuite mis en œuvre
dans une bande mince autour des interfaces permettant de mettre à jour ces
fonctions.
Cette méthode combine l’avantage de la méthode MGDM qui capture
efficacement un grand nombre de corps et leurs voisins relatifs et l’efficacité
des modèles Level Set de contact vus précédemment.
Afin de valider la capacité de cette méthode à éviter les contacts numériques
et son efficacité à traiter un grand nombre de structures, deux applications
sont explorées : les corps rigides et les suspensions de vésicules biologiques. Il
faut remarquer par ailleurs que la méthode MGDM peut aussi évidemment
traiter efficacement d’autres types d’interactions en particulier des forces de
cohésion ou d’amortissement telles que celles évoquées en 6.1.3.
6.2.2.1 Fonctions étiquettes
Soient N objets occupant des domaines Ω i (t) ⊂ Ω et immergés dans un
fluide s’écoulant dans Ω N +1 (t) de sorte que l’ensemble des ces N +1 domaines
forme une partition de Ω, avec Ω i ∩ Ω j = ∅ pour i = j dans {1, ··· ,N}.
En chaque point x ∈ Ω, on définit les fonctions étiquettes E 0 , E 1 , E 2 par :
∀x ∈ Ω, ∀i ∈ {1, ..., N + 1},
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
E 0 (x) = i si x ∈ Ω i ,
E 1 (x) = argmin
j =E 0 (x)
d(x, Γ j ),
E 2 (x) =
argmin
j /
∈{E 0 (x),E 1 (x)}
d(x, Γ j ).
avec Γ N +1 =
N
i=1 Γ i correspondant à l’interface fluide-structures. La fonction
E 0 numérote ainsi la partition de Ω en N + 1 objets différents, alors que E 1
(resp. E 2 ) identifie le numéro d’un objet dans cette partition le plus proche de
chaque point (resp. d’un second plus proche). Dans le cas où plusieurs objets
sont à égale distance d’un point, le numéro est celui de l’une d’entre elles.
Nous verrons par la suite que cette indétermination n’induit pas de difficulté
dans l’algorithme. On a ainsi :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
E 0 (x) = i si x ∈ Ω i ,
E 1 (x) = j si un plus proche objet de x est Ω j ,
E 2 (x) = k si un second plus proche objet de x est Ω k .
En particulier E 1 (x) = N + 1 dans chaque objet immergé. E 2 (x) est le numéro
d’un plus proche solide dans un solide, et d’un second plus proche dans le
fluide.
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interfaces est transportée avec la vitesse du fluide. Des fonctions Level Set
permettent ensuite d’une part d’étiqueter les solides et pour chaque point du
domaine de connaître le numéro du solide le plus proche et le deuxième plus
proche. Un algorithme de type multi fast-marching est ensuite mis en œuvre
dans une bande mince autour des interfaces permettant de mettre à jour ces
fonctions.
Cette méthode combine l’avantage de la méthode MGDM qui capture
efficacement un grand nombre de corps et leurs voisins relatifs et l’efficacité
des modèles Level Set de contact vus précédemment.
Afin de valider la capacité de cette méthode à éviter les contacts numériques
et son efficacité à traiter un grand nombre de structures, deux applications
sont explorées : les corps rigides et les suspensions de vésicules biologiques. Il
faut remarquer par ailleurs que la méthode MGDM peut aussi évidemment
traiter efficacement d’autres types d’interactions en particulier des forces de
cohésion ou d’amortissement telles que celles évoquées en 6.1.3.
6.2.2.1 Fonctions étiquettes
Soient N objets occupant des domaines Ω i (t) ⊂ Ω et immergés dans un
fluide s’écoulant dans Ω N +1 (t) de sorte que l’ensemble des ces N +1 domaines
forme une partition de Ω, avec Ω i ∩ Ω j = ∅ pour i = j dans {1, ··· ,N}.
En chaque point x ∈ Ω, on définit les fonctions étiquettes E 0 , E 1 , E 2 par :
∀x ∈ Ω, ∀i ∈ {1, ..., N + 1},
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
E 0 (x) = i si x ∈ Ω i ,
E 1 (x) = argmin
j =E 0 (x)
d(x, Γ j ),
E 2 (x) =
argmin
j /
∈{E 0 (x),E 1 (x)}
d(x, Γ j ).
avec Γ N +1 =
N
i=1 Γ i correspondant à l’interface fluide-structures. La fonction
E 0 numérote ainsi la partition de Ω en N + 1 objets différents, alors que E 1
(resp. E 2 ) identifie le numéro d’un objet dans cette partition le plus proche de
chaque point (resp. d’un second plus proche). Dans le cas où plusieurs objets
sont à égale distance d’un point, le numéro est celui de l’une d’entre elles.
Nous verrons par la suite que cette indétermination n’induit pas de difficulté
dans l’algorithme. On a ainsi :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
E 0 (x) = i si x ∈ Ω i ,
E 1 (x) = j si un plus proche objet de x est Ω j ,
E 2 (x) = k si un second plus proche objet de x est Ω k .
En particulier E 1 (x) = N + 1 dans chaque objet immergé. E 2 (x) est le numéro
d’un plus proche solide dans un solide, et d’un second plus proche dans le
fluide.