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6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
Dans le cas où les fonctions Level Set ne sont pas des distances signées (par
exemple lorsqu’on considère des objets déformables et que l’on souhaite utiliser
les fonctions Level Set des interfaces pour définir des forces élastiques), on
obtient un modèle en approchant localement la distance à l’objet Ω j par
ϕ j
|∇ϕ j | , comme on l’a vu en 1.5.2. En renormalisant en outre les fonctions Level
Set dans la régularisation ζ, on aboutit à la formule
f contact (x) = −ρ
ij
κ ij
ε
ζ
ϕ i (x)
ε|∇ϕ i (x)|
∇ϕ j (x)
ϕ j (x)
exp (−
ϕ j (x)
ε|∇ϕ j (x)|
). (6.3)
Dans cette équation ρ désigne la densité du système fluide-objets, qui doit
être évaluée en fonction de densités ρ i des objets par la formule
ρ(x) =
i
ρ i χ i (x)
où χ i est la fonction indicatrice de Ω i (en notant Ω 0 le domaine fluide). C’est
cette force de contact qui est utilisée dans l’expérience de la figure 5.2. Il
faut noter que dans cette formule les petits paramètres donnant d’une part
l’épaisseur du rebond et, d’autre part, le lissage des forces sur les surfaces ont
été pris égaux mais ce n’est évidemment pas une nécessité.
6.1.3 Prise en compte de forces de cohésion et
d’amortissement
Dans certaines applications il est souhaitable de prendre en compte la
physique effective des interactions entre objets. C’est le cas par exemple dans
les milieux granulaires constitués de sédiments cohésifs que l’on rencontre
dans les lits de rivière, les systèmes côtiers ou les coulées de boue. Les grains
formant ces sédiments interagissent via des forces de répulsion similaires à
celles vues précédemment ainsi que de forces de cohésion de type Van der Walls
à très courte portée. Ces dernières forces sont capables d’assurer la cohésion
après contact de grains agglomérés. Les formes spécifiques, et notamment
leur rayon d’action, de ce forces de répulsion et de cohésion sont évidemment
dépendants de la rhéologie des grains et des propriétés des liquides dans
lesquels il baignent.
En l’absence de modèles macroscopiques pleinement satisfaisant pour décrire de tels écoulements, les méthodes de simulation directe résolvant l’écoulement à l’échelle des grains deviennent de plus en plus populaires [7]. Dans
[141] par exemple, les grains sont des sphères de différentes tailles et les forces
d’interaction sont des forces centrales, intégrées dans une méthode de frontière
immergée permettant de traiter un millier de particules.
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
Dans le cas où les fonctions Level Set ne sont pas des distances signées (par
exemple lorsqu’on considère des objets déformables et que l’on souhaite utiliser
les fonctions Level Set des interfaces pour définir des forces élastiques), on
obtient un modèle en approchant localement la distance à l’objet Ω j par
ϕ j
|∇ϕ j | , comme on l’a vu en 1.5.2. En renormalisant en outre les fonctions Level
Set dans la régularisation ζ, on aboutit à la formule
f contact (x) = −ρ
ij
κ ij
ε
ζ
ϕ i (x)
ε|∇ϕ i (x)|
∇ϕ j (x)
ϕ j (x)
exp (−
ϕ j (x)
ε|∇ϕ j (x)|
). (6.3)
Dans cette équation ρ désigne la densité du système fluide-objets, qui doit
être évaluée en fonction de densités ρ i des objets par la formule
ρ(x) =
i
ρ i χ i (x)
où χ i est la fonction indicatrice de Ω i (en notant Ω 0 le domaine fluide). C’est
cette force de contact qui est utilisée dans l’expérience de la figure 5.2. Il
faut noter que dans cette formule les petits paramètres donnant d’une part
l’épaisseur du rebond et, d’autre part, le lissage des forces sur les surfaces ont
été pris égaux mais ce n’est évidemment pas une nécessité.
6.1.3 Prise en compte de forces de cohésion et
d’amortissement
Dans certaines applications il est souhaitable de prendre en compte la
physique effective des interactions entre objets. C’est le cas par exemple dans
les milieux granulaires constitués de sédiments cohésifs que l’on rencontre
dans les lits de rivière, les systèmes côtiers ou les coulées de boue. Les grains
formant ces sédiments interagissent via des forces de répulsion similaires à
celles vues précédemment ainsi que de forces de cohésion de type Van der Walls
à très courte portée. Ces dernières forces sont capables d’assurer la cohésion
après contact de grains agglomérés. Les formes spécifiques, et notamment
leur rayon d’action, de ce forces de répulsion et de cohésion sont évidemment
dépendants de la rhéologie des grains et des propriétés des liquides dans
lesquels il baignent.
En l’absence de modèles macroscopiques pleinement satisfaisant pour décrire de tels écoulements, les méthodes de simulation directe résolvant l’écoulement à l’échelle des grains deviennent de plus en plus populaires [7]. Dans
[141] par exemple, les grains sont des sphères de différentes tailles et les forces
d’interaction sont des forces centrales, intégrées dans une méthode de frontière
immergée permettant de traiter un millier de particules.