6.1 Traitement par méthode Level Set des forces d’interaction
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Cette énergie permet d’évaluer l’épaisseur de la peau de l’obstacle sur laquelle
se fait le rebond des objets. Supposons en effet un objet à une distance initiale
x(0) = x 0 de l’obstacle et animé d’une vitesse v(0) = dx/dt(0) = v 0 < 0 dirigée
vers l’obstacle. Le rebond se fera à une distance x(t) telle que v(t) = 0. Si on
note x cette position, on aura donc, du fait de la conservation d’énergie
E(x 0 ) +
v 2
0
2
= E(x
),
c’est à dire
x 0 /ε
x/ε
κ
y
exp(−y) dy =
1
2
v 2
0
κ
.
Si on note
F ε (x) =
x 0 /ε
x
1
y
exp(−y) dy , F (x) =
+∞
x
1
y
exp(−y) dy.
et G ε = F −1
ε
on peut donc écrire
x
= εG ε (v
2
0 /2κ) εG(v
2
0 /2κ) for ε 1.
(6.2)
Cette relation confirme que l’épaisseur sur laquelle s’effectue le rebond est de
l’ordre de ε. Elle montre aussi qu’en principe le coefficient κ peut être choisi
proportionnellement au carré de la vitesse relative des objets "avant contact".
6.1.2 Répulsion surfacique par méthode Level Set
Considérons maintenant le cas d’une famille d’objets Ω i , de bords Γ i . Pour
étendre le modèle ponctuel décrit précédemment on peut procéder de la
manière suivante pour décrire les forces exercées par l’objet Ω j sur l’objet
Ω i :
— étendre le système dynamique (6.1) à l’ensemble des points frontières
de Γ i en transcrivant son membre de droite en force surfacique sur Γ i
et en utilisant une fonction Level Set associée à Γ j pour déterminer la
direction de cette force et la distance à l’objet Ω j .
— traduire cette force surfacique en force volumique en utilisant une
fonction Level Set associée à Γ i , à l’aide du formalisme Level Set vu
dans le chapitre 1
En sommant sur toutes les interactions entre objets, dans le cas où les fonctions
Level Set sont des distances signées aux objets, on obtient le modèle de force
suivant :
f contact (x) = −ρ
ij
κ ij
ε
ζ
ϕ i (x)
ε
∇ϕ j (x)
ϕ j (x)
exp (−ϕ j (x)/ε).
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Cette énergie permet d’évaluer l’épaisseur de la peau de l’obstacle sur laquelle
se fait le rebond des objets. Supposons en effet un objet à une distance initiale
x(0) = x 0 de l’obstacle et animé d’une vitesse v(0) = dx/dt(0) = v 0 < 0 dirigée
vers l’obstacle. Le rebond se fera à une distance x(t) telle que v(t) = 0. Si on
note x cette position, on aura donc, du fait de la conservation d’énergie
E(x 0 ) +
v 2
0
2
= E(x
),
c’est à dire
x 0 /ε
x/ε
κ
y
exp(−y) dy =
1
2
v 2
0
κ
.
Si on note
F ε (x) =
x 0 /ε
x
1
y
exp(−y) dy , F (x) =
+∞
x
1
y
exp(−y) dy.
et G ε = F −1
ε
on peut donc écrire
x
= εG ε (v
2
0 /2κ) εG(v
2
0 /2κ) for ε 1.
(6.2)
Cette relation confirme que l’épaisseur sur laquelle s’effectue le rebond est de
l’ordre de ε. Elle montre aussi qu’en principe le coefficient κ peut être choisi
proportionnellement au carré de la vitesse relative des objets "avant contact".
6.1.2 Répulsion surfacique par méthode Level Set
Considérons maintenant le cas d’une famille d’objets Ω i , de bords Γ i . Pour
étendre le modèle ponctuel décrit précédemment on peut procéder de la
manière suivante pour décrire les forces exercées par l’objet Ω j sur l’objet
Ω i :
— étendre le système dynamique (6.1) à l’ensemble des points frontières
de Γ i en transcrivant son membre de droite en force surfacique sur Γ i
et en utilisant une fonction Level Set associée à Γ j pour déterminer la
direction de cette force et la distance à l’objet Ω j .
— traduire cette force surfacique en force volumique en utilisant une
fonction Level Set associée à Γ i , à l’aide du formalisme Level Set vu
dans le chapitre 1
En sommant sur toutes les interactions entre objets, dans le cas où les fonctions
Level Set sont des distances signées aux objets, on obtient le modèle de force
suivant :
f contact (x) = −ρ
ij
κ ij
ε
ζ
ϕ i (x)
ε
∇ϕ j (x)
ϕ j (x)
exp (−ϕ j (x)/ε).