144
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
Dans ces différents exemples, les interactions entre objets se traduisent par
des forces exercées sur les surfaces des objets. Dans une méthode eulérienne
où ces surfaces ne sont pas suivies explicitement, une approche naturelle est
donc de s’appuyer sur le formalisme décrit en 2.3 permettant de traduire des
forces surfaciques en forces volumiques à l’aide de fonctions Level Set, qui par
ailleurs donnent les distances entre les différents objets. Cette approche est
décrite dans le paragraphe 7.1.
Si l’écoulement comprend un grand nombre d’objets, se pose la question
du calcul efficace de ces interactions, c’est à dire évitant de calcul toutes le
interactions deux à deux entre objets. Le paragraphe 7.2 montre comment, en
s’inspirant de méthodes développées en traitement d’images, on peut limiter
ces calculs aux interactions les plus proches.
6.1 Traitement par méthode Level Set des forces
d’interaction
Les méthodes Level Set peuvent être utilisées pour détecter la collision ou
la pénétration entre objets. Si la fonction Level Set est une distance signée,
elle permet d’évaluer la taille du recouvrement entre les objets. Des forces
réspulsives, fonction de ce volume, peuvent ensuite être mises en oeuvre pour
supprimer ce recouvrement. C’est la méthode par exemple utilisée dans [27].
La méthode que nous décrivons ci-dessous est plus immédiate, dans le sens
où les fonctions Level Set décrivant les bords des objets sont utilisées pour
calculer des forces de répulsion qui sont directement intégrées dans le solveur
du fluide.
6.1.1 Modèle de répulsion ponctuel
Le point de départ de cette méthode est un modèle de force réspulsive
ponctuelle à petite portée. Pour fixer les idées, considérons le modèle suivant,
utilisé dans [34] :
¨
x =
κ
x
exp (−x/ε)
(6.1)
Dans ce modèle le point de coordonnée x(t) > 0 interagit avec le point (obstacle)
x = 0, κ est un coefficient positif qui donne la raideur de la collision et ε est
le rayon d’action de la force. Il s’agit d’un système Hamiltonien dont l’énergie
est donnée par
E(x) =
1
x
κ
s
exp(−s/ε),ds =
1/ε
x/ε
κ
y
exp(−y) dy.
6 Calculs d’interactions entre solides par méthode Level Set
Dans ces différents exemples, les interactions entre objets se traduisent par
des forces exercées sur les surfaces des objets. Dans une méthode eulérienne
où ces surfaces ne sont pas suivies explicitement, une approche naturelle est
donc de s’appuyer sur le formalisme décrit en 2.3 permettant de traduire des
forces surfaciques en forces volumiques à l’aide de fonctions Level Set, qui par
ailleurs donnent les distances entre les différents objets. Cette approche est
décrite dans le paragraphe 7.1.
Si l’écoulement comprend un grand nombre d’objets, se pose la question
du calcul efficace de ces interactions, c’est à dire évitant de calcul toutes le
interactions deux à deux entre objets. Le paragraphe 7.2 montre comment, en
s’inspirant de méthodes développées en traitement d’images, on peut limiter
ces calculs aux interactions les plus proches.
6.1 Traitement par méthode Level Set des forces
d’interaction
Les méthodes Level Set peuvent être utilisées pour détecter la collision ou
la pénétration entre objets. Si la fonction Level Set est une distance signée,
elle permet d’évaluer la taille du recouvrement entre les objets. Des forces
réspulsives, fonction de ce volume, peuvent ensuite être mises en oeuvre pour
supprimer ce recouvrement. C’est la méthode par exemple utilisée dans [27].
La méthode que nous décrivons ci-dessous est plus immédiate, dans le sens
où les fonctions Level Set décrivant les bords des objets sont utilisées pour
calculer des forces de répulsion qui sont directement intégrées dans le solveur
du fluide.
6.1.1 Modèle de répulsion ponctuel
Le point de départ de cette méthode est un modèle de force réspulsive
ponctuelle à petite portée. Pour fixer les idées, considérons le modèle suivant,
utilisé dans [34] :
¨
x =
κ
x
exp (−x/ε)
(6.1)
Dans ce modèle le point de coordonnée x(t) > 0 interagit avec le point (obstacle)
x = 0, κ est un coefficient positif qui donne la raideur de la collision et ε est
le rayon d’action de la force. Il s’agit d’un système Hamiltonien dont l’énergie
est donnée par
E(x) =
1
x
κ
s
exp(−s/ε),ds =
1/ε
x/ε
κ
y
exp(−y) dy.