5.5 Illustrations numériques
135
Ecoulements autour d’obstacles oscillant
Les deux exemples qui suivent illustrent des extensions de la méthode
de pénalisation évoquées au paragraphe précèdent. Dans ces exemples la
méthode numérique utilisée pour la discrétisation numérique des équations de
Navier-Stokes est une méthode semi-lagrangienne basée sur une formulation
vitesse-tourbillon des équations.
Considérons tout d’abord le cas d’un cylindre bi-dimensionnel monté sur
un ressort (figure 5.3) et entraîné dans un écoulement uniforme transverse au
ressort. Le mouvement du cylindre est contraint dans l’axe du ressort. Si x G
désigne le centre du cylindre et x 0 sa position au repos, le cylindre subit donc
une force égale à
F e = −
k
m
(x G − x 0 )
où k est la raideur du ressort et m sa masse, avec m =
Ω ρχ S dx. Dans [9] la
méthode implémentée peut se résumer en les étapes suivantes, pour chaque
itération en temps :
— utiliser la méthode de pénalisation (5.1) pour résoudre les équations de
Navier-Stokes avec vitesse sur l’obstacle prescrite
— utiliser (5.10) pour en déduire les forces hydrodynamiques exercées sur
le solide
— ajouter la forces de résistance du ressort et (éventuellement) les forces
de gravité
— utiliser la force résultante pour mettre à jour la position et la vitesse
du solide.
L’approche suivie dans [33] consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes
avec densité variable (5.3)-(5.7) pour le problème d’interaction d’interaction
complet, et à ajouter à la vitesse obtenue par (5.5) l’accélération résultant de
la résistance du ressort. Pour traiter cette force extérieure il suffit d’ajouter
au membre de droite de l’équation (5.5) le terme −k(x G − x 0 ) avec x G =
ρ xχ S dx. C’est cette méthode que nous illustrons plus bas. Elle est plus
directe que la méthode de [9] mais nécessite dans le cas général de résoudre
les équations de Navier-Stokes à densité variable.
Dans les résultats qui suivent le cylindre et le fluide ont des masses uniformes
ρ S et ρ f respectivement, et on utilise les normalisations de [128] à savoir
m
=
π
2
ρ S
ρ f
, k
=
2k
ρ f
Si f est la fréquence propre du système, correspondant au nombre de Strouhal
du sillage du cylindre, la résonance avec cette fréquence est atteinte pour
k
ef f = k
− 4π
2 f
m
= 0.
Les paramêtres utilisés dans ces simulations sont les suivants :
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Ecoulements autour d’obstacles oscillant
Les deux exemples qui suivent illustrent des extensions de la méthode
de pénalisation évoquées au paragraphe précèdent. Dans ces exemples la
méthode numérique utilisée pour la discrétisation numérique des équations de
Navier-Stokes est une méthode semi-lagrangienne basée sur une formulation
vitesse-tourbillon des équations.
Considérons tout d’abord le cas d’un cylindre bi-dimensionnel monté sur
un ressort (figure 5.3) et entraîné dans un écoulement uniforme transverse au
ressort. Le mouvement du cylindre est contraint dans l’axe du ressort. Si x G
désigne le centre du cylindre et x 0 sa position au repos, le cylindre subit donc
une force égale à
F e = −
k
m
(x G − x 0 )
où k est la raideur du ressort et m sa masse, avec m =
Ω ρχ S dx. Dans [9] la
méthode implémentée peut se résumer en les étapes suivantes, pour chaque
itération en temps :
— utiliser la méthode de pénalisation (5.1) pour résoudre les équations de
Navier-Stokes avec vitesse sur l’obstacle prescrite
— utiliser (5.10) pour en déduire les forces hydrodynamiques exercées sur
le solide
— ajouter la forces de résistance du ressort et (éventuellement) les forces
de gravité
— utiliser la force résultante pour mettre à jour la position et la vitesse
du solide.
L’approche suivie dans [33] consiste à résoudre les équations de Navier-Stokes
avec densité variable (5.3)-(5.7) pour le problème d’interaction d’interaction
complet, et à ajouter à la vitesse obtenue par (5.5) l’accélération résultant de
la résistance du ressort. Pour traiter cette force extérieure il suffit d’ajouter
au membre de droite de l’équation (5.5) le terme −k(x G − x 0 ) avec x G =
ρ xχ S dx. C’est cette méthode que nous illustrons plus bas. Elle est plus
directe que la méthode de [9] mais nécessite dans le cas général de résoudre
les équations de Navier-Stokes à densité variable.
Dans les résultats qui suivent le cylindre et le fluide ont des masses uniformes
ρ S et ρ f respectivement, et on utilise les normalisations de [128] à savoir
m
=
π
2
ρ S
ρ f
, k
=
2k
ρ f
Si f est la fréquence propre du système, correspondant au nombre de Strouhal
du sillage du cylindre, la résonance avec cette fréquence est atteinte pour
k
ef f = k
− 4π
2 f
m
= 0.
Les paramêtres utilisés dans ces simulations sont les suivants :